Exercice $$ 4:(07 $$ points $$ ) $$ Soit la fonction définie par $$ f(x)=x^{3}-12 x+10 $$ et $$ \left(\mathscr{E}_{f} ight) $$ sa courbe représentative dans un repère du plan. $$ \begin{array}{lc} ext { a) Déterminer le domaine de définition } D_{f} ext { de la fonction } f ext {. } \ ext { b) Calculer les limites aux bornes du domaine de définition } D_{f} & (2 imes 0,75 \mathbf{p t}) \ ext { c) Déterminer la fonction dérivée } f^{\prime}(x) & (\mathbf{1 p t}) \ ext { d) Etudier le signe la fonction dérivée } f^{\prime}(x) & \mathbf{( p t )} \ ext { e) Etablir le tableau de variation de } f(x) & \mathbf{( 2 p t s )} \ ext { f) Tracer }\left(\mathscr{E}_{f} ight) & \mathbf{( 1 p t s )}\end{array} $$

Question

Exercice $$ 4:(07 $$ points $$ ) $$ Soit la fonction définie par $$ f(x)=x^{3}-12 x+10 $$ et $$ \left(\mathscr{E}_{f}ight) $$ sa courbe représentative dans un repère du plan. $$ \begin{array}{lc}	ext { a) Déterminer le domaine de définition } D_{f} 	ext { de la fonction } f 	ext {. } \ 	ext { b) Calculer les limites aux bornes du domaine de définition } D_{f} & (2 	imes 0,75 \mathbf{p t}) \ 	ext { c) Déterminer la fonction dérivée } f^{\prime}(x) & (\mathbf{1 p t}) \ 	ext { d) Etudier le signe la fonction dérivée } f^{\prime}(x) & \mathbf{( p t )} \ 	ext { e) Etablir le tableau de variation de } f(x) & \mathbf{( 2 p t s )} \ 	ext { f) Tracer }\left(\mathscr{E}_{f}ight) & \mathbf{( 1 p t s )}\end{array} $$

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**a) Domaine de définition** La fonction $$ f(x)=x^{3}-12x+10 $$ est un polynôme, donc elle est définie pour tout $$ x\in \mathbb{R} $$. On a donc : $$ D_{f}=\mathbb{R} $$ **b) Limites aux bornes du domaine de définition** Pour $$ x\to -\infty $$ et $$ x\to +\infty $$, le terme dominant du polynôme est $$ x^3 $$. - Lorsque $$ x\to -\infty $$ : $$ \lim_{x\to -\infty} f(x)= \lim_{x\to -\infty}x^3 -12x+10 = -\infty $$ - Lorsque $$ x\to +\infty $$ : $$ \lim_{x\to +\infty} f(x)= \lim_{x\to +\infty}x^3 -12x+10 = +\infty $$ **c) Calcul de la fonction dérivée** La dérivée de $$ f(x)=x^{3}-12x+10 $$ est obtenue en dérivant terme à terme : $$ f'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^3\right)-\frac{d}{dx}\left(12x\right)+\frac{d}{dx}\left(10\right)=3x^2-12 $$ On peut factoriser : $$ f'(x)=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2) $$ **d) Étude du signe de la dérivée** On cherche les valeurs pour lesquelles $$ f'(x)=0 $$. Les solutions de $$ 3(x-2)(x+2)=0 $$ sont : $$ x=-2 \quad \text{et} \quad x=2. $$ Considérons les intervalles déterminés par ces racines : - Pour $$ x < -2 $$ : Les deux facteurs $$ (x-2) $$ et $$ (x+2) $$ sont négatifs, leur produit est positif, multiplié par 3 donne un résultat positif. Ainsi, $$ f'(x)>0 $$. - Pour $$ -2 < x < 2 $$ : Ici, $$ (x+2)>0 $$ et $$ (x-2)<0 $$, leur produit est négatif, donc $$ f'(x)<0 $$. - Pour $$ x > 2 $$ : Dans ce cas, les deux facteurs sont positifs, ainsi $$ f'(x)>0 $$. **e) Tableau de variation de $$ f(x) $$** 1. La fonction augmente sur $$ (-\infty, -2] $$. 2. Elle décroît sur $$ [-2,2] $$. 3. Elle augmente sur $$ [2,+\infty) $$. Calculons les valeurs aux points critiques : - $$ f(-2)=(-2)^3-12(-2)+10=-8+24+10=26 $$ - $$ f(2)=2^3-12(2)+10=8-24+10=-6 $$ Le tableau de variation s'établit donc : $$ \begin{array}{|c|cccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & 2 & & +\infty \ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & 26 & \searrow & -6 & \nearrow & +\infty \ \hline \end{array} $$ **f) Tracé de la courbe représentative $$ \left(\mathscr{E}_{f}\right) $$** Pour tracer $$ \mathscr{E}_{f} $$, placer sur le repère les points clés : - Intersection avec l’axe des $$ y $$ : $$ f(0)=0^3-12\cdot 0+10=10 $$. - Point d’abscisse $$ -2 $$ avec $$ f(-2)=26 $$ (maximum local). - Point d’abscisse $$ 2 $$ avec $$ f(2)=-6 $$ (minimum local). On connaît aussi le comportement asymptotique : - Lorsque $$ x\to -\infty $$, $$ f(x)\to -\infty $$. - Lorsque $$ x\to +\infty $$, $$ f(x)\to +\infty $$. En reliant ces points et en respectant le sens de variation indiqué dans le tableau, on obtient la courbe représentative de $$ f $$. **a) Domaine de définition** La fonction $$ f(x)=x^{3}-12x+10 $$ est définie pour tout $$ x $$ réel. Donc, $$ D_{f}=\mathbb{R} $$. **b) Limites aux bornes** - $$ \lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty $$ - $$ \lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty $$ **c) Dérivée de la fonction** La dérivée est $$ f'(x)=3x^2-12 $$. **d) Signe de la dérivée** - $$ f'(x)>0 $$ pour $$ x < -2 $$ et $$ x > 2 $$ - $$ f'(x)<0 $$ pour $$ -2 < x < 2 $$ **e) Tableau de variation** $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -2 & 2 & +\infty \ \hline f'(x) & + & 0 & 0 & + \ \hline f(x) & -\infty & 26 & -6 & +\infty \ \hline \end{array} $$ **f) Tracé de la courbe** La courbe $$ \mathscr{E}_{f} $$ passe par les points $$ (0,10) $$, $$ (-2,26) $$, et $$ (2,-6) $$. Elle augmente avant $$ x=-2 $$ et $$ x=2 $$, et décroît entre ces deux points.

Exercice points
Soit la fonction définie par et sa courbe représentative dans un repère du plan.
$é é é é é é é é$

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Exercice points Soit la fonction définie par et sa courbe représentative dans un repère du plan. éééééééé