Determinar si las siguientes series son convergentes o divergentes aplicando el criterio de Comparación de paso al limite $$ \begin{array}{ll}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1+3^{k}}{2^{k}} & \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1+8^{k}}{3+10^{k}} \ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2+\operatorname{sen} k}{\sqrt[3]{k^{4}+1}} & \sum_{k=2}^{\infty} \frac{2 k+1}{k \ln k} \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2}+3 n+3} & 3\end{array} $$

Question

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### Serie (a)
Consideramos la serie
$$
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1+3^k}{2^k}.
$$
Para $$ k $$ grande, el término $$ 3^k $$ domina sobre el $$ 1 $$ en el numerador, de modo que

$$
\frac{1+3^k}{2^k} \sim \frac{3^k}{2^k} = \left(\frac{3}{2}\right)^k.
$$

Sea
$$
b_k=\left(\frac{3}{2}\right)^k.
$$
Como el cociente $$ \frac{3}{2}>1 $$, la serie geométrica $$\sum b_k$$ diverge.

Aplicamos el criterio de comparación al límite:

$$
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}=\lim_{k\to\infty}\frac{\frac{1+3^k}{2^k}}{\left(\frac{3}{2}\right)^k} 
=\lim_{k\to\infty}\frac{1+3^k}{2^k}\cdot\frac{2^k}{3^k} 
=\lim_{k\to\infty}\left(\frac{1}{3^k}+1\right)=1.
$$

Como $$ L $$ es un número finito positivo y la serie $$ \sum b_k $$ diverge, por el criterio de comparación límite se concluye que

$$
\textbf{la serie (a) diverge.}
$$

---

### Serie (b)
Consideramos la serie
$$
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1+8^k}{3+10^k}.
$$
Para $$ k $$ grande, $$\,8^k$$ domina en el numerador y $$10^k$$ en el denominador, de modo que

$$
\frac{1+8^k}{3+10^k} \sim \frac{8^k}{10^k} = \left(\frac{8}{10}\right)^k = \left(\frac{4}{5}\right)^k.
$$

Sea
$$
b_k=\left(\frac{4}{5}\right)^k.
$$
La serie geométrica $$\sum_{k=1}^{\infty} b_k$$ converge, pues $$\frac{4}{5}<1$$.

Aplicamos el criterio de comparación al límite:

$$
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}
=\lim_{k\to\infty} \frac{\frac{1+8^k}{3+10^k}}{\left(\frac{4}{5}\right)^k}.
$$

Para $$ k $$ grande, usando las dominancias identificadas:

$$
L \sim \lim_{k\to\infty} \frac{8^k/10^k}{(4/5)^k}
=\lim_{k\to\infty} \frac{\left(\frac{8}{10}\right)^k}{\left(\frac{4}{5}\right)^k}=1.
$$

Dado que $$ L>0 $$ y la serie $$ \sum b_k $$ converge, se concluye que

$$
\textbf{la serie (b) converge.}
$$

---

### Serie (c)
Consideramos la serie
$$
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2+\sin k}{\sqrt[3]{k^4+1}}.
$$
Para $$ k $$ grande, notamos que $$\sin k$$ está acotada ($$-1 \le \sin k \le 1$$), de modo que $$2+\sin k$$ está comprendida entre $$1$$ y $$3$$. Además,

$$
\sqrt[3]{k^4+1} \sim k^{\frac{4}{3}}.
$$

Por ello, para $$ k $$ grande

$$
\frac{2+\sin k}{\sqrt[3]{k^4+1}} \sim \frac{C}{k^{4/3}} \quad \text{con } 1 \le C \le 3.
$$

Sea
$$
b_k = \frac{1}{k^{4/3}}.
$$
La serie $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{4/3}} $$ converge ya que el exponente $$ \frac{4}{3}>1 $$.

Aplicamos el criterio de comparación al límite:

$$
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k} 
=\lim_{k\to\infty}\left(2+\sin k\right) \frac{k^{4/3}}{\sqrt[3]{k^4+1}}.
$$

Dado que

$$
\frac{k^{4/3}}{\sqrt[3]{k^4+1}} \to 1,
$$
se tiene que

$$
L = \lim_{k\to\infty}\left(2+\sin k\right)
$$
que oscila entre $$1$$ y $$3$$ y, en particular, está acotado positivamente. Por lo tanto, por el criterio de comparación límite,

$$
\textbf{la serie (c) converge.}
$$

---

### Serie (d)
Consideramos la serie
$$
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{2k+1}{k \ln k}.
$$
Para $$ k $$ grande, el término $$2k+1 \sim 2k$$. Entonces

$$
\frac{2k+1}{k \ln k} \sim \frac{2k}{k \ln k} = \frac{2}{\ln k}.
$$

Sea
$$
b_k = \frac{1}{\ln k}.
$$
Para analizar la serie $$\sum b_k$$, se puede aplicar el criterio de condensación o notar que la función $$ \frac{1}{\ln k} $$ decrece muy lentamente y se puede demostrar que

$$
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{\ln k}
$$
diverge (por ejemplo, usando la prueba de condensación, se llega a la serie $$\sum \frac{2^n}{n}$$ que diverge).

Aplicamos el criterio de comparación al límite:

$$
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}
=\lim_{k\to\infty}\frac{\frac{2k+1}{k \ln k}}{1/\ln k} 
=\lim_{k\to\infty}\frac{2k+1}{k} 
=\lim_{k\to\infty}\left(2+\frac{1}{k}\right)=2.
$$

Como $$ L $$ es positivo finito y la serie $$ \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\ln k} $$ diverge, se concluye que

\[
\textbf{
- **Serie (a):** Diverge. - **Serie (b):** Converge. - **Serie (c):** Converge. - **Serie (d):** Diverge.

Determinar si las siguientes series son convergentes o divergentes aplicando el criterio de
Comparación de paso al limite

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Serie (b)

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