Question
8. Calcula el resultado de la siguiente operación \( (1+i)^{-2} \) \( \begin{array}{llll}\text { a) } \frac{i}{2} & \text { b) } \frac{i}{-4} & \text { c) } \frac{i}{4} & \text { d) } \frac{-i}{2}\end{array} \)
Ask by Graham Curry. in Mexico
Mar 20,2025
Upstudy AI Solution
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Answer
El resultado de \( (1+i)^{-2} \) es \( -\frac{i}{2} \).
Solution
1. Primero, se observa que elevar a la potencia \(-2\) es lo mismo que calcular el inverso cuadrado, es decir,
\[
(1+i)^{-2}=\frac{1}{(1+i)^2}.
\]
2. Se calcula \((1+i)^2\):
\[
(1+i)^2 = 1^2 + 2(1)(i) + i^2 = 1 + 2i + i^2.
\]
Recordando que \(i^2 = -1\), entonces:
\[
1 + 2i - 1 = 2i.
\]
3. Por lo tanto, se tiene:
\[
(1+i)^2 = 2i.
\]
4. Al sustituir en la expresión del paso 1:
\[
(1+i)^{-2} = \frac{1}{2i}.
\]
5. Para eliminar la presencia de \(i\) en el denominador, se utiliza la propiedad \(\frac{1}{i}=-i\):
\[
\frac{1}{2i} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{i} = \frac{1}{2}\cdot(-i) = -\frac{i}{2}.
\]
6. Concluimos que el resultado es:
\[
(1+i)^{-2} = -\frac{i}{2}.
\]
La respuesta correcta es la opción d) \(\frac{-i}{2}\).
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Para resolver \( (1+i)^{-2} \), primero calculamos \( 1+i \). Podemos expresar el módulo y el argumento de este número complejo. El módulo es \( \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \) y su argumento es \( \frac{\pi}{4} \). Entonces, \( 1+i = \sqrt{2} \text{cis}\left(\frac{\pi}{4}\right) \). Ahora elevamos al cuadrado: \[ (1+i)^{-2} = \frac{1}{(1+i)^2} = \frac{1}{2 \text{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{1}{2} \text{cis}\left(-\frac{\pi}{2}\right). \] Esto se traduce a \( \frac{1}{2}(-i) = \frac{-i}{2} \). Por lo tanto, la respuesta correcta es \( \text{d) } \frac{-i}{2} \).
