5. Тенсіздікті шешіңіз: \( \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)<1 \) A) \( -3 \pi+4 \pi n

Ask by Elliott Bird. in Kazakhstan

Oct 31,2024

Для решения неравенства \( \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)<1 \) начнем с преобразования неравенства. 1. Разделим обе стороны на \( \sqrt{2} \) (так как \( \sqrt{2} > 0 \)): \[ \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) < \frac{1}{\sqrt{2}} \] 2. Зная, что \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \), мы можем записать неравенство в виде: \[ \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) < \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \] 3. Поскольку синус — это периодическая функция, мы можем использовать свойства синуса. Неравенство \( \sin A < \sin B \) выполняется, если: - \( A < B \) и \( A, B \) находятся в пределах одного периода (или \( A > B \) и \( A, B \) находятся в пределах другого периода). 4. В нашем случае: \[ \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} < \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} > \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] 5. Решим первое неравенство: \[ \frac{x}{2} < 2k\pi \implies x < 4k\pi \] 6. Решим второе неравенство: \[ \frac{x}{2} > 2k\pi \implies x > 4k\pi - \pi \implies x > 4k\pi - 2\pi \] 7. Объединим оба условия: \[ 4k\pi - 2\pi < x < 4k\pi \] 8. Поскольку \( k \) — целое число, мы можем записать это как: \[ x \in (-2\pi + 4k\pi, 4k\pi), \quad k \in \mathbb{Z} \] 9. Теперь подставим \( k = n \): \[ x \in (-2\pi + 4n\pi, 4n\pi), \quad n \in \mathbb{Z} \] 10. Это можно записать как: \[ -\frac{\pi}{3} + 4\pi n < x < 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Таким образом, правильный ответ: **D) \( -\frac{\pi}{3}+4 \pi n