5. Тенсіздікті шешіңіз: $$ \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)

Question

5. Тенсіздікті шешіңіз: $$ \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)<1 $$ A) $$ -3 \pi+4 \pi n

UpStudy AI · Accepted Answer

Для решения неравенства $$ \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)<1 $$ начнем с преобразования неравенства. 1. Разделим обе стороны на $$ \sqrt{2} $$ (так как $$ \sqrt{2} > 0 $$): $$ \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) < \frac{1}{\sqrt{2}} $$ 2. Зная, что $$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $$, мы можем записать неравенство в виде: $$ \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) < \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $$ 3. Поскольку синус — это периодическая функция, мы можем использовать свойства синуса. Неравенство $$ \sin A < \sin B $$ выполняется, если: - $$ A < B $$ и $$ A, B $$ находятся в пределах одного периода (или $$ A > B $$ и $$ A, B $$ находятся в пределах другого периода). 4. В нашем случае: $$ \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} < \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} > \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 5. Решим первое неравенство: $$ \frac{x}{2} < 2k\pi \implies x < 4k\pi $$ 6. Решим второе неравенство: $$ \frac{x}{2} > 2k\pi \implies x > 4k\pi - \pi \implies x > 4k\pi - 2\pi $$ 7. Объединим оба условия: $$ 4k\pi - 2\pi < x < 4k\pi $$ 8. Поскольку $$ k $$ — целое число, мы можем записать это как: $$ x \in (-2\pi + 4k\pi, 4k\pi), \quad k \in \mathbb{Z} $$ 9. Теперь подставим $$ k = n $$: $$ x \in (-2\pi + 4n\pi, 4n\pi), \quad n \in \mathbb{Z} $$ 10. Это можно записать как: $$ -\frac{\pi}{3} + 4\pi n < x < 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Таким образом, правильный ответ: **D) $$ -\frac{\pi}{3}+4 \pi n**D) $$ -\frac{\pi}{3}+4 \pi n

5. Тенсіздікті шешіңіз: \( \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)<1 \) A) \( -3 \pi+4 \pi n

Ask by Elliott Bird. in Kazakhstan

Oct 31,2024

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

preguntas relacionadas

Latest Trigonometry Questions