Realizall los pyo cedimientos 4 simplificas al maxizio. \( \frac{\sqrt[3]{x^{\frac{3}{2} y^{3}}} \div \sqrt[3]{\frac{x^{4} y^{5} z}{x-8 y z^{5}}}}{z-6} \)

1. Partimos de la expresión \[ \frac{\sqrt[3]{x^{\frac{3}{2}}y^3} \div \sqrt[3]{\frac{x^4y^5z}{x-8yz^5}}}{z-6}. \] 2. Observamos que el cociente de dos raíces cúbicas se puede reescribir como la raíz cúbica del cociente: \[ \sqrt[3]{x^{\frac{3}{2}}y^3} \div \sqrt[3]{\frac{x^4y^5z}{x-8yz^5}} = \sqrt[3]{\frac{x^{\frac{3}{2}}y^3}{\frac{x^4y^5z}{x-8yz^5}}}. \] 3. Simplificamos la fracción dentro de la raíz, multiplicando por el inverso: \[ \sqrt[3]{\frac{x^{\frac{3}{2}}y^3}{\frac{x^4y^5z}{x-8yz^5}}} = \sqrt[3]{\frac{x^{\frac{3}{2}}y^3 \cdot (x-8yz^5)}{x^4y^5z}}. \] 4. Separamos la parte con las potencias: - Para \(x\): \[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^4} = x^{\frac{3}{2}-4} = x^{-\frac{5}{2}}. \] - Para \(y\): \[ \frac{y^3}{y^5} = y^{3-5} = y^{-2}. \] De modo que la expresión se transforma en \[ \sqrt[3]{\frac{x-8yz^5}{x^{\frac{5}{2}}y^2z}}. \] 5. Recordando que la raíz cúbica de un cociente es la división de las raíces cúbicas y aplicando la propiedad de las potencias, escribimos \[ \sqrt[3]{\frac{x-8yz^5}{x^{\frac{5}{2}}y^2z}} = \frac{\sqrt[3]{x-8yz^5}}{\sqrt[3]{x^{\frac{5}{2}}y^2z}}. \] 6. Evaluamos las raíces del denominador aplicando la propiedad \( \sqrt[3]{a^m} = a^{\frac{m}{3}} \): \[ \sqrt[3]{x^{\frac{5}{2}}} = x^{\frac{5}{6}},\quad \sqrt[3]{y^2} = y^{\frac{2}{3}},\quad \sqrt[3]{z} = z^{\frac{1}{3}}. \] Por lo tanto, \[ \sqrt[3]{x^{\frac{5}{2}}y^2z} = x^{\frac{5}{6}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{1}{3}}. \] 7. Incorporando esta simplificación en la expresión original y recordando que toda la raíz cúbica dividida se encuentra en el numerador de la fracción original, obtenemos \[ \frac{\sqrt[3]{x-8yz^5}}{(z-6) \, x^{\frac{5}{6}}y^{\frac{2}{3}}z^{\frac{1}{3}}}. \] Este es el resultado final simplificado.