Défi 25 Vous pouvez rendre ce défi sur un parchemin. Vous prenez régulièrement une ligne de bus. Il existe trois forfaits : - Vous payez 10 euros par aller-retour. - Vous payez un forfait mensuel de 30 euros et vous payez 4 euros par aller-retour. - Vous payez 80 euros par mois et vous voyagez autant que vous voulez. On note $$ x $$ le nombre de trajets par mois, $$ f(x), g(x) $$ et $$ h(x) $$ le coût total sur le mois pour les trois forfaits. 1. Donnez une les expressions de $$ f(x), g(x) $$ et $$ h(x) $$. 2. Par le calcul, déterminez les positions relatives des courbes de $$ f, g $$ et $$ h $$. 3. Tracez les courbes représentatives des fonctions $$ f, g $$ et $$ h $$. Vérifiez sur le graphique les résultats de la question précédente. 4. Donnez, en fonction du nombre $$ x $$ de trajets dans le mois, le forfait qui est le plus avantageux.

Question

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1. Expression des fonctions - Pour le premier forfait (10 euros par aller-retour) : $$ f(x)=10x $$ - Pour le deuxième forfait (30 euros fixes + 4 euros par aller-retour) : $$ g(x)=30+4x $$ - Pour le troisième forfait (80 euros par mois, illimité) : $$ h(x)=80 $$ 2. Étude des positions relatives des courbes a) Intersection entre $$ f $$ et $$ g $$ : Il faut résoudre $$ 10x=30+4x $$ Ce qui donne $$ 6x=30\quad\Longrightarrow\quad x=5. $$ À $$ x=5 $$, on a $$ f(5)=50 $$ et $$ g(5)=30+20=50 $$. b) Intersection entre $$ f $$ et $$ h $$ : Résolvons $$ 10x=80\quad\Longrightarrow\quad x=8. $$ À $$ x=8 $$, $$ f(8)=80 $$ et $$ h(8)=80 $$. c) Intersection entre $$ g $$ et $$ h $$ : En posant $$ 30+4x=80, $$ on obtient $$ 4x=50\quad\Longrightarrow\quad x=12.5. $$ À $$ x=12.5 $$, $$ g(12.5)=80 $$ et $$ h(12.5)=80 $$. d) Comparaison des fonctions en fonction de $$ x $$ : - Pour $$ x<5 $$ : $$ f(x)=10x \quad\text{et}\quad g(x)=30+4x. $$ Par exemple, pour $$ x=0 $$, $$ f(0)=0 $$ et $$ g(0)=30 $$. Ainsi, $$ f(x)5 $$ on a $$ g(x)8 $$, $$ f(x)>80 $$ (puisque $$ f(8)=80 $$). On sait que $$ h(x)=80 $$ reste constant et que $$ g(x) $$ est linéaire croissant. Par exemple, pour $$ x=10 $$, on a \[ f(10)=100,\quad g(10)=30+40=70,\quad h(x)=80. $$ L’ordre est alors \[ g(x)12.5 $$ : Pour $$ x>12.5 $$, $$ g(x)>80 $$ (puisque $$ g(12.5)=80 $$), et $$ f(x)>h(x)=80 $$ (car $$ f $$ a une pente élevée). Ainsi, \[ h(x)12.5 $$, c’est la courbe $$ h $$ qui est la plus basse. 4. Choix du forfait le plus avantageux en fonction de $$ x $$ - Pour $$ x<5 $$ : $$ f(x)=10x $$ est le coût le plus faible. - Pour $$ 5\le x<12.5 $$ : $$ g(x)=30+4x $$ est le plus avantageux. - Pour $$ x\ge 12.5 $$ : $$ h(x)=80 $$ est le forfait le plus avantageux. Ainsi, le choix optimal dépend du nombre de trajets mensuels $$ x $$ : - Si $$ x<5 $$, opter pour le paiement à la course, - Si $$ 5\le x<12.5 $$, choisir le forfait de 30 euros + 4 euros par trajet, - Si $$ x\ge 12.5 $$, le forfait illimité à 80 euros est préférable. 1. **Expressions des forfaits :** - **Forfait 1 :** $$ f(x) = 10x $$ - **Forfait 2 :** $$ g(x) = 30 + 4x $$ - **Forfait 3 :** $$ h(x) = 80 $$ 2. **Positions relatives des courbes :** - **$$ f(x) $$ et $$ g(x) $$ se coupent à $$ x = 5 $$** - **$$ f(x) $$ et $$ h(x) $$ se coupent à $$ x = 8 $$** - **$$ g(x) $$ et $$ h(x) $$ se coupent à $$ x = 12.5 $$** 3. **Comparaison des forfaits :** - Pour $$ x < 5 $$: $$ f(x) < g(x) < h(x) $$ - Pour $$ 5 < x < 8 $$: $$ g(x) < f(x) < h(x) $$ - Pour $$ 8 < x < 12.5 $$: $$ h(x) < g(x) < f(x) $$ - Pour $$ x > 12.5 $$: $$ h(x) < g(x) < f(x) $$ 4. **Forfait le plus avantageux :** - Si $$ x < 5 $$: Forfait 1 - Si $$ 5 \leq x < 8 $$: Forfait 2 - Si $$ x \geq 8 $$: Forfait 3

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