Défi 25 Vous pouvez rendre ce défi sur un parchemin. Vous prenez régulièrement une ligne de bus. Il existe trois forfaits : - Vous payez 10 euros par aller-retour. - Vous payez un forfait mensuel de 30 euros et vous payez 4 euros par aller-retour. - Vous payez 80 euros par mois et vous voyagez autant que vous voulez. On note \( x \) le nombre de trajets par mois, \( f(x), g(x) \) et \( h(x) \) le coût total sur le mois pour les trois forfaits. 1. Donnez une les expressions de \( f(x), g(x) \) et \( h(x) \). 2. Par le calcul, déterminez les positions relatives des courbes de \( f, g \) et \( h \). 3. Tracez les courbes représentatives des fonctions \( f, g \) et \( h \). Vérifiez sur le graphique les résultats de la question précédente. 4. Donnez, en fonction du nombre \( x \) de trajets dans le mois, le forfait qui est le plus avantageux.

Pour ce défi, commençons par définir les expressions de coût pour chaque forfait : 1. Pour \( f(x) \) correspondant au forfait d’un aller-retour : \( f(x) = 10x \) Pour \( g(x) \) correspondant au forfait mensuel avec un paiement supplémentaire par trajet : \( g(x) = 30 + 4x \) Pour \( h(x) \) correspondant au forfait illimité : \( h(x) = 80 \) 2. Pour déterminer les positions relatives des courbes, on compare les coûts à différents niveaux de \( x \) : - Pour \( x = 0 \) : \( f(0) = 0 \), \( g(0) = 30 \), \( h(0) = 80 \), donc \( f < g < h \). - Pour \( x = 1 \) : \( f(1) = 10 \), \( g(1) = 34 \), \( h(1) = 80 \), donc \( f < g < h \). - Pour \( x = 5 \) : \( f(5) = 50 \), \( g(5) = 50 \), \( h(5) = 80 \), donc \( f = g < h \). - Pour \( x = 10 \) : \( f(10) = 100 \), \( g(10) = 70 \), \( h(10) = 80 \), donc \( f > g < h \). Cela nous montre que \( g \) devient le plus avantageux entre 5 et 10 trajets, tandis que \( f \) est meilleur au-delà de 10 trajets. 3. En traçant les courbes de \( f \), \( g \), et \( h \), vous devriez voir : - \( f \) en bleu (montée linéaire continue) - \( g \) en rouge (une ligne linéaire qui commence à 30 et grimpe) - \( h \) en vert (une ligne horizontale à 80) Les points d'intersection confirmeront les résultats de la question précédente. 4. Enfin, pour des \( x < 5 \), le forfait le plus avantageux est \( f \). Entre \( 5 \) et \( 10 \), c'est \( g \). Et pour \( x > 10 \), optez pour \( f \) pour économiser, ce qui illustre parfaitement l'importance d'analyser coût et trajets !