Exercice \( (4): \) Le plan est rapporté à un repère orthonormé \( (0 ; 1 ; J) \), On considère les points: \( A(3 ; 0) ; B(0 ; 3) ; C(-3 ; 0) \) et \( D(0 ;-3) \).

Nous considérons les points suivants dans le plan muni du repère orthonormé (O; I, J) :   A(3 ; 0), B(0 ; 3), C(–3 ; 0) et D(0 ; –3). Dans cet exercice, nous allons montrer que ces quatre points sont les sommets d’un carré et en déduire quelques propriétés. ────────────────────────────── 1 – Étude du quadrilatère a) Repérage et tracé Les points A, B, C et D se trouvent respectivement sur l’axe des abscisses (pour A et C) et sur l’axe des ordonnées (pour B et D). Leur tracé révèle que ces points sont symétriques par rapport à l’origine O(0,0). En les reliant dans l’ordre (A, B, C, D) puis en revenant à A, on obtient une figure en losange (en forme de “diamant”). b) Calcul des longueurs des côtés Calculons la distance entre deux sommets consécutifs, par exemple AB.  • AB :   distance = √[(x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²]       = √[(0 – 3)² + (3 – 0)²]       = √[(–3)² + 3²]       = √(9 + 9) = √18 = 3√2. Par symétrie, on trouve :  • BC = 3√2, CD = 3√2, DA = 3√2. Les quatre côtés sont donc de même longueur. c) Calcul des diagonales Calculons maintenant les distances entre les sommets opposés.  • Diagonale AC (entre A et C) :   distance = √[(–3 – 3)² + (0 – 0)²] = √[(–6)²] = 6.  • Diagonale BD (entre B et D) :   distance = √[(0 – 0)² + (–3 – 3)²] = √[(–6)²] = 6. Les diagonales sont de même longueur et se coupent en O(0,0). d) Vérification de l’angle droit Pour montrer que le losange est un carré, il suffit de vérifier qu’un angle est droit (les quatre côtés étant de même longueur). Examinons le vecteur AB et le vecteur BC.  • Vecteur AB = (x_B – x_A, y_B – y_A) = (0 – 3, 3 – 0) = (–3, 3).  • Vecteur BC = (x_C – x_B, y_C – y_B) = (–3 – 0, 0 – 3) = (–3, –3). Le produit scalaire :  AB • BC = (–3)(–3) + (3)(–3) = 9 – 9 = 0. Le produit scalaire nul implique que les vecteurs AB et BC sont orthogonaux, c’est-à-dire que l’angle ABC est droit. On peut vérifier de même pour les autres angles. ────────────────────────────── Conclusion sur la nature du quadrilatère Les quatre côtés sont égaux et un angle (donc tous les angles) est droit. Ainsi, le quadrilatère A B C D est un carré. ────────────────────────────── 2 – Propriétés géométriques du carré a) Centre et cercle circonscrit Les diagonales se coupent en O(0,0) qui est donc le centre du carré. La distance de O à l’un des sommets (par exemple A) est :   OA = √(3² + 0²) = 3. Le cercle circonscrit au carré est centré en O et a pour rayon 3. Son équation est :   x² + y² = 9. b) Aire du carré La longueur d’un côté est 3√2, donc l’aire du carré est :   Aire = (3√2)² = 9 × 2 = 18. On peut également utiliser la formule (demi-produit des diagonales) :   Aire = ½ × (6 × 6) = 18. ────────────────────────────── Synthèse Les points A(3,0), B(0,3), C(–3,0) et D(0,–3) sont les sommets d’un carré de centre O(0,0) et de côté 3√2. Ses diagonales (de longueur 6) se coupent perpendiculairement en O. Ce carré est circonscrit par le cercle d’équation x² + y² = 9 et son aire est 18. Ainsi, nous avons bien démontré la nature et les principales propriétés géométriques du carré formé par les points A, B, C et D.