1. Hallar el conjunto solución de las siguientes expresiones: a) $$ |3 x-2|=7 $$ b) $$ |3-x|=|8-x| $$ c) $$ \left|x^{2}-1\right|+\left|x^{2}-16\right|=2 $$

Question

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**a) Resolver $$ |3x-2|=7 $$**

1. Se plantean dos casos según la definición de valor absoluto:
   - Caso 1: $$ 3x-2=7 $$
   - Caso 2: $$ 3x-2=-7 $$

2. Caso 1:
   $$
   3x-2=7 \quad \Rightarrow \quad 3x=9 \quad \Rightarrow \quad x=3
   $$

3. Caso 2:
   $$
   3x-2=-7 \quad \Rightarrow \quad 3x=-5 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{5}{3}
   $$

4. Conjunto solución:
   $$
   \{3,\, -\frac{5}{3}\}
   $$

---

**b) Resolver $$ |3-x|=|8-x| $$**

1. Notamos que la igualdad de dos valores absolutos ocurre cuando las distancias de $$ x $$ a 3 y a 8 son iguales. Esto sucede cuando $$ x $$ es el punto medio de 3 y 8.

2. Cálculo del punto medio:
   $$
   x=\frac{3+8}{2}=\frac{11}{2}
   $$

3. Conjunto solución:
   $$
   \left\{\frac{11}{2}\right\}
   $$

---

**c) Resolver $$ \left|x^{2}-1\right|+\left|x^{2}-16\right|=2 $$**

1. Sea $$ a=x^2 $$. La ecuación se transforma en:
   $$
   |a-1|+|a-16|=2.
   $$

2. Analizamos la expresión por intervalos en $$ a $$:

- **Caso I: $$ a<1 $$**
     - Aquí $$ a-1<0 $$ y $$ a-16<0 $$, por lo que:
       $$
       |a-1|=1-a,\quad |a-16|=16-a.
       $$
     - La ecuación queda:
       $$
       (1-a)+(16-a)=17-2a=2 \quad \Rightarrow \quad 2a=15 \quad \Rightarrow \quad a=\frac{15}{2}.
       $$
     - Como $$ \frac{15}{2}=7.5 $$ y $$ 7.5 \geq 1 $$, esta solución no está en el intervalo $$ a<1 $$.

- **Caso II: $$ 1\leq a<16 $$**
     - Aquí $$ a-1\geq0 $$ y $$ a-16<0 $$ (porque $$ a<16 $$):
       $$
       |a-1|=a-1,\quad |a-16|=16-a.
       $$
     - La ecuación se simplifica a:
       $$
       (a-1)+(16-a)=15.
       $$
     - Esto implica:
       $$
       15=2,
       $$
       lo cual es una contradicción.

- **Caso III: $$ a\geq16 $$**
     - En este caso $$ a-1\geq 0 $$ y $$ a-16\geq0 $$:
       $$
       |a-1|=a-1,\quad |a-16|=a-16.
       $$
     - La ecuación queda:
       $$
       (a-1)+(a-16)=2a-17=2 \quad \Rightarrow \quad 2a=19 \quad \Rightarrow \quad a=\frac{19}{2}.
       $$
     - Dado que $$ \frac{19}{2}=9.5 $$ y $$ 9.5 < 16 $$, esta solución no pertenece al intervalo $$ a\geq16 $$.

3. Conclusión:
   No existen valores de $$ a $$ (ni por ende de $$ x $$) que satisfagan la ecuación.

4. Conjunto solución:
   $$
   \varnothing
   $$

---

**Respuestas finales:**

a) $$ \{3,\, -\frac{5}{3}\} $$

b) $$ \left\{\frac{11}{2}\right\} $$

c) Sin solución (conjunto vacío)
**a) $$ \{3,\, -\frac{5}{3}\} $$** **b) $$ \left\{\frac{11}{2}\right\} $$** **c) Sin solución (conjunto vacío)**

1. Hallar el conjunto solución de las siguientes expresiones: a) \( |3 x-2|=7 \) b) \( |3-x|=|8-x| \) c) \( \left|x^{2}-1\right|+\left|x^{2}-16\right|=2 \)

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