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Answer
El valor de la integral es 108.
Solution
Dado el integral
\[
\int_{1}^{3}\left(12x^{2}+2\right)dx,
\]
primero encontramos la antiderivada de \(12x^2+2\).
1. La integral de \(12x^2\) es:
\[
\int 12x^{2} dx = 12 \cdot \frac{x^{3}}{3} = 4x^{3}.
\]
2. La integral de \(2\) es:
\[
\int 2\, dx = 2x.
\]
Por lo tanto, la antiderivada es:
\[
F(x)=4x^{3}+2x.
\]
Aplicamos el teorema fundamental del cálculo evaluando \(F(x)\) en los límites:
\[
\int_{1}^{3}\left(12x^{2}+2\right)dx=F(3)-F(1).
\]
Evaluamos en \(x=3\):
\[
F(3)=4(3)^{3}+2(3)=4\cdot27+6=108+6=114.
\]
Evaluamos en \(x=1\):
\[
F(1)=4(1)^{3}+2(1)=4+2=6.
\]
Finalmente, el resultado del integral es:
\[
114-6=108.
\]
La respuesta es:
\[
108.
\]
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Para resolver la integral \( \int_{1}^{3}\left(12 x^{2}+2\right) d x \), primero encontramos la primitiva de la función. La primitiva de \( 12 x^{2} \) es \( 4 x^{3} \) y la primitiva de \( 2 \) es \( 2x \). Por lo tanto, la primitiva total es \( 4 x^{3} + 2x \). Evaluamos en los límites de integración: \[ \left[ 4(3)^{3} + 2(3) \right] - \left[ 4(1)^{3} + 2(1) \right] = \left[ 4(27) + 6 \right] - \left[ 4 + 2 \right] = (108 + 6) - (4 + 2) = 114 - 6 = 108. \] Por lo tanto, el resultado de la integral es \( 108 \).
