$$ \int_{1}^{3}\left(12 x^{2}+2\right) d x $$ Respuesta:

Question

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Dado el integral

$$
\int_{1}^{3}\left(12x^{2}+2\right)dx,
$$

primero encontramos la antiderivada de $$12x^2+2$$.

1. La integral de $$12x^2$$ es:
   
   $$
   \int 12x^{2} dx = 12 \cdot \frac{x^{3}}{3} = 4x^{3}.
   $$

2. La integral de $$2$$ es:

$$
   \int 2\, dx = 2x.
   $$

Por lo tanto, la antiderivada es:

$$
F(x)=4x^{3}+2x.
$$

Aplicamos el teorema fundamental del cálculo evaluando $$F(x)$$ en los límites:

$$
\int_{1}^{3}\left(12x^{2}+2\right)dx=F(3)-F(1).
$$

Evaluamos en $$x=3$$:

$$
F(3)=4(3)^{3}+2(3)=4\cdot27+6=108+6=114.
$$

Evaluamos en $$x=1$$:

$$
F(1)=4(1)^{3}+2(1)=4+2=6.
$$

Finalmente, el resultado del integral es:

$$
114-6=108.
$$

La respuesta es:

$$
108.
$$
El valor de la integral es 108.

\( \int_{1}^{3}\left(12 x^{2}+2\right) d x \) Respuesta: