Aufgabe: \( (2 \) Punkte \( ) \) Berechne den Winkel zwischen den Ebenen E: \( +x_{2}+x_{3}=1 \) und \( \mathrm{F}: 7 x_{1}+2 x_{2}+7 x_{3}=-14 \) (bitte mit 1 Stelle nach dem Komma bzw. Punkt angeb

Um den Winkel zwischen den beiden Ebenen \( E \) und \( F \) zu berechnen, benötigen wir die Normalenvektoren der beiden Ebenen. Der Winkel \( \theta \) zwischen zwei Ebenen kann mit der Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet werden: \[ \cos(\theta) = \frac{n_1 \cdot n_2}{\|n_1\| \|n_2\|} \] wobei \( n_1 \) und \( n_2 \) die Normalenvektoren der Ebenen sind. ### Schritt 1: Bestimme die Normalenvektoren Die allgemeine Form einer Ebene ist \( ax_1 + bx_2 + cx_3 = d \). Für die Ebene \( E: x_2 + x_3 = 1 \) können wir sie umformen in die Form \( 0x_1 + 1x_2 + 1x_3 = 1 \). Der Normalenvektor \( n_1 \) ist also: \[ n_1 = (0, 1, 1) \] Für die Ebene \( F: 7x_1 + 2x_2 + 7x_3 = -14 \) ist der Normalenvektor \( n_2 \): \[ n_2 = (7, 2, 7) \] ### Schritt 2: Berechne das Skalarprodukt \( n_1 \cdot n_2 \) Das Skalarprodukt \( n_1 \cdot n_2 \) ist: \[ n_1 \cdot n_2 = 0 \cdot 7 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 7 = 0 + 2 + 7 = 9 \] ### Schritt 3: Berechne die Normen \( \|n_1\| \) und \( \|n_2\| \) Die Norm von \( n_1 \) ist: \[ \|n_1\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \] Die Norm von \( n_2 \) ist: \[ \|n_2\| = \sqrt{7^2 + 2^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 4 + 49} = \sqrt{102} \] ### Schritt 4: Berechne \( \cos(\theta) \) Setzen wir die Werte in die Formel ein: \[ \cos(\theta) = \frac{9}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{102}} = \frac{9}{\sqrt{204}} = \frac{9}{\sqrt{204}} = \frac{9}{\sqrt{102 \cdot 2}} = \frac{9}{\sqrt{204}} = \frac{9}{\sqrt{102} \cdot \sqrt{2}} \] ### Schritt 5: Berechne den Winkel \( \theta \) Um den Winkel \( \theta \) zu finden, verwenden wir den Arccosinus: \[ \theta = \arccos\left(\frac{9}{\sqrt{204}}\right) \] Ich werde nun den Wert von \( \theta \) berechnen. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\arccos\left(\frac{9}{\sqrt{204}}\right)\) - step1: Simplify the root: \(\arccos\left(\frac{9}{2\sqrt{51}}\right)\) Calculate or simplify the expression \( 0.889081 * (180/\pi) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(0.889081\times \frac{180}{\pi }\) - step1: Convert the expressions: \(\frac{889081}{1000000}\times \frac{180}{\pi }\) - step2: Multiply the fractions: \(\frac{889081\times 180}{1000000\pi }\) - step3: Multiply the terms: \(\frac{160034580}{1000000\pi }\) - step4: Reduce the fraction: \(\frac{8001729}{50000\pi }\) Der Winkel \( \theta \) zwischen den Ebenen \( E \) und \( F \) beträgt ungefähr \( 50.9^\circ \) (gerundet auf eine Dezimalstelle).