\( y ^ { 3 } x \geq y ^ { - 2 } \)

1. نبدأ من المتباينة الأصلية: \[ y^3 x \geq y^{-2} \] 2. نلاحظ أن \( y^{-2} = \frac{1}{y^2} \) والتعبير معرف بشرط \( y \neq 0 \). 3. لضرب كلا الطرفين بـ\( y^2 \) (وهو عدد موجب لأن \( y^2 > 0 \) عندما \( y \neq 0 \)) نحصل على: \[ y^3 x \cdot y^2 \geq y^{-2} \cdot y^2 \] وبما أن \( y^3 \cdot y^2 = y^5 \) و\( y^{-2} \cdot y^2 = 1 \)، تصبح المتباينة: \[ x y^5 \geq 1 \] 4. للتحليل نُقسم إلى حالتين حسب إشارة \( y^5 \): - **الحالة الأولى: \( y > 0 \)** بما أن \( y > 0 \) فإن \( y^5 > 0 \). عندها نقسم على \( y^5 \) بدون تغيير إشارة المتباينة: \[ x \geq \frac{1}{y^5} \] - **الحالة الثانية: \( y < 0 \)** بما أن \( y < 0 \) فإن \( y^5 < 0 \). عندها نقسم على \( y^5 \) ويتغير اتجاه المتباينة: \[ x \leq \frac{1}{y^5} \] 5. إذن، الحل النهائي للمتباينة مع اعتبار \( y \neq 0 \) هو: - إذا كان \( y > 0 \)، فإن: \[ x \geq \frac{1}{y^5} \] - إذا كان \( y < 0 \)، فإن: \[ x \leq \frac{1}{y^5} \]