\[ (x+2 y)^{n}=x^{n}+\ldots \] olduğuna göre, A kaçt \( \begin{array}{ll}\text { A) } 35 & \text { B) } 70\end{array} \)

Verilen ifade \((x + 2y)^n\) ifadesinin açılımıdır. Bu açılımda, \(x^n\) teriminin katsayısını bulmak için binom açılımını kullanabiliriz. Binom açılımı şu şekildedir: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Burada \(a = x\) ve \(b = 2y\) olduğuna göre, açılım şu şekilde olur: \[ (x + 2y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} (2y)^k \] Bu açılımda \(x^n\) terimini bulmak için \(k = 0\) seçilmelidir. Bu durumda: \[ \binom{n}{0} x^{n-0} (2y)^0 = \binom{n}{0} x^n = x^n \] Burada \(k = 0\) olduğu için katsayı \(1\) olur. Ancak, \(x^n\) teriminin yanında başka terimler de vardır. \(x^n\) teriminin katsayısı, \(k = 0\) için \(1\) olduğu için, bu terimden sonra gelen terimlerin katsayıları da önemlidir. Şimdi \(x^{n-1}(2y)\) terimini bulmak için \(k = 1\) seçelim: \[ \binom{n}{1} x^{n-1} (2y)^1 = n \cdot 2 \cdot x^{n-1} y = 2n x^{n-1} y \] Burada \(x^{n-1}y\) teriminin katsayısı \(2n\) olur. Şimdi \(x^{n-2}(2y)^2\) terimini bulmak için \(k = 2\) seçelim: \[ \binom{n}{2} x^{n-2} (2y)^2 = \binom{n}{2} x^{n-2} \cdot 4y^2 = 4 \cdot \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} y^2 = 2n(n-1) x^{n-2} y^2 \] Burada \(x^{n-2}y^2\) teriminin katsayısı \(2n(n-1)\) olur. Bu şekilde devam ederek, \(x^{n-k}(2y)^k\) terimlerinin katsayılarını bulabiliriz. Ancak, soruda \(A\) değerinin ne olduğu belirtilmemiş. Eğer \(A\) terimi \(x^{n-2}y^2\) teriminin katsayısı ise, bu durumda: \[ A = 2n(n-1) \] Eğer \(n = 7\) ise: \[ A = 2 \cdot 7 \cdot 6 = 84 \] Eğer \(n = 10\) ise: \[ A = 2 \cdot 10 \cdot 9 = 180 \] Verilen seçenekler \(35\) ve \(70\) olduğuna göre, \(n\) değerini bulmamız gerekiyor. Eğer \(A = 35\) ise: \[ 2n(n-1) = 35 \implies n(n-1) = 17.5 \quad \text{(bu mümkün değil)} \] Eğer \(A = 70\) ise: \[ 2n(n-1) = 70 \implies n(n-1) = 35 \] Bu durumda \(n = 7\) olur. Sonuç olarak, \(A\) değeri \(70\) olarak bulunur. Doğru cevap: \[ \text{B) } 70 \]