17. $$ \iiint_{E} x d V $$, où $$ E $$ est borné par le paraboloíde $$ x=4 y^{2}+4 z^{2} $$ et le plan $$ x=4 $$.

Question

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Nous considérons l’intégrale

$$
\iiint_{E} x\, dV,
$$

où la région $$ E $$ est délimitée par le paraboloïde

$$
x=4\left(y^2+z^2\right)
$$

et le plan

$$
x=4.
$$

La première étape consiste à décrire géométriquement la région $$ E $$.

1. Pour un point $$(y,z)$$ donné, $$ x $$ varie de la surface du paraboloïde jusqu’au plan, c’est-à-dire de

$$
x=4\left(y^2+z^2\right)
$$

à

$$
x=4.
$$

2. Pour que l’intervalle en $$ x $$ soit défini, il faut que

$$
4\left(y^2+z^2\right) \leq 4 \quad\Longrightarrow\quad y^2+z^2 \leq 1.
$$

Ainsi, le domaine en $$ (y,z) $$ est le disque unité.

Nous utilisons ensuite une paramétrisation en coordonnées cylindriques dans le plan $$ (y,z) $$ en posant

$$
y=r\cos\theta,\quad z=r\sin\theta,\quad \text{avec } r\in[0,1],\ \theta\in[0,2\pi].
$$

Le jacobien pour la transformation du plan est $$ r $$. De plus, l’intégrale se découpe alors en :

$$
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{x=4r^2}^{4} x\, dx\, r\, dr\, d\theta.
$$

Nous procédons au calcul étape par étape.

**Étape 1 : Intégration par rapport à $$ x $$**

Calculons l’intégrale intérieure :

$$
\int_{x=4r^2}^{4} x\, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{x=4r^2}^{4} = \frac{4^2}{2} - \frac{(4r^2)^2}{2} = \frac{16}{2} - \frac{16r^4}{2} = 8\,(1-r^4).
$$

**Étape 2 : Intégration par rapport à $$ r $$ et $$ \theta $$**

L’intégrale devient alors :

$$
\iiint_{E} x\, dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}8\,(1-r^4)\, r\, dr\, d\theta.
$$

On peut factoriser la constante $$ 8 $$ et séparer les intégrales :

$$
= 8\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}r\,(1-r^4) \, dr.
$$

La première intégrale est :

$$
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
$$

La seconde intégrale est :

$$
\int_{0}^{1}r\,(1-r^4) \, dr = \int_{0}^{1} r\, dr - \int_{0}^{1} r^5\, dr.
$$

Calculons chacune :

- $$\displaystyle \int_{0}^{1} r\, dr = \left[\frac{r^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$$.
- $$\displaystyle \int_{0}^{1}r^5\, dr = \left[\frac{r^6}{6}\right]_0^1 = \frac{1}{6}$$.

Ainsi :

$$
\int_{0}^{1}r\,(1-r^4) \, dr = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}.
$$

**Étape 3 : Mise en ensemble**

Nous avons donc :

$$
\iiint_{E} x\, dV = 8\,(2\pi)\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{16\pi}{3}.
$$

La valeur de l’intégrale est donc

$$
\boxed{\frac{16\pi}{3}}.
$$
La valeur de l'intégrale est $$ \frac{16\pi}{3} $$.

, où est borné par le paraboloíde
et le plan .

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, où est borné par le paraboloíde et le plan .