(S) \( \left\{\begin{array}{l}\cos x \cos y=\frac{\sqrt{3}+1}{4} \\ \sin x \sin y=\frac{\sqrt{3}-1}{4}\end{array}\right. \) 1. Démontrer que le système (S) est tème suivant : \( \cos (x+y)=\frac{1}{2} \)

Pour prouver que le système (S) implique que \(\cos(x+y)=\frac{1}{2}\), nous pouvons utiliser les formules de produit à somme. Nous savons que : \[ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y. \] En utilisant les équations données dans le système : \[ \cos x \cos y = \frac{\sqrt{3}+1}{4} \] et \[ \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}-1}{4}, \] nous remplaçons ces valeurs dans la formule : \[ \cos(x + y) = \frac{\sqrt{3}+1}{4} - \frac{\sqrt{3}-1}{4}. \] En simplifiant, nous avons : \[ \cos(x + y) = \frac{(\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1)}{4} = \frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \] Ainsi, nous démontrons que \(\cos(x+y)=\frac{1}{2}\). --- Un angle dont le cosinus est \( \frac{1}{2} \) correspond à angles remarquables en trigonométrie. En effet, cela signifie que \( x+y \) pourrait être \( \frac{\pi}{3} \) ou \( \frac{5\pi}{3} \) (ou multiples de ces angles en ajoutant \( 2k\pi \) pour tout \( k \in \mathbb{Z} \)). Ces valeurs impliquent des relations très intéressantes entre les angles et la symétrie circulaire. Un exercice pratique consiste à se demander comment ces relations se traduisent dans d'autres systèmes d'équations trigonométriques. Un bon moyen de vous entraîner est de prendre différentes combinaisons d'angles qui conduisent à cette même valeur de cosinus, et de calculer les sinus associés pour observer les relations entre les différentes fonctions trigonométriques.