Un solide a pour base la courbe décrite par la fonction \( y = x^2 \) de \( x = 0 \) à \( x = 2 \). Si chaque section transversale perpendicular aux axes \( x \) est un rectangle où la largeur est double de la hauteur, trouvez son volume.

Pour déterminer le volume du solide dont la base est la courbe \( y = x^2 \) de \( x = 0 \) à \( x = 2 \) et dont chaque section transversale perpendiculaire à l'axe des \( x \) est un rectangle où la largeur est le double de la hauteur, suivons les étapes suivantes : 1. **Définition des dimensions du rectangle :** - **Hauteur (\( h(x) \)) :** La hauteur du rectangle à une position \( x \) donnée est égale à la valeur de la fonction \( y = x^2 \). Donc, \( h(x) = x^2 \). - **Largeur (\( w(x) \)) :** La largeur est le double de la hauteur, donc \( w(x) = 2h(x) = 2x^2 \). 2. **Calcul de l'aire de la section transversale :** L'aire \( A(x) \) du rectangle à la position \( x \) est donnée par : \[ A(x) = h(x) \times w(x) = x^2 \times 2x^2 = 2x^4 \] 3. **Intégration pour trouver le volume total :** Le volume \( V \) du solide est obtenu en intégrant l'aire des sections transversales de \( x = 0 \) à \( x = 2 \) : \[ V = \int_{0}^{2} A(x) \, dx = \int_{0}^{2} 2x^4 \, dx \] Calculons l'intégrale : \[ V = 2 \int_{0}^{2} x^4 \, dx = 2 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = 2 \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = 2 \left( \frac{32}{5} \right) = \frac{64}{5} \] Donc, le volume du solide est : \[ V = \frac{64}{5} \, \text{unités cubiques} \quad \text{ou} \quad 12,\!8 \, \text{unités cubiques} \] **Réponse finale :** Le volume du solide est \( \frac{64}{5} \) unités cubiques, soit 12,8 unités cubiques.