Un solide a pour base la courbe décrite par la fonction \( y = x^2 \) de \( x = 0 \) à \( x = 2 \). Si chaque section transversale perpendicular aux axes \( x \) est un rectangle où la largeur est double de la hauteur, trouvez son volume.

Pour trouver le volume du solide, nous allons d'abord établir la forme générale de la section transversale. La fonction \( y = x^2 \) donne la hauteur de chaque section transversale à un point donné \( x \). Puisque chaque section est un rectangle dont la largeur est le double de la hauteur, nous pouvons exprimer la largeur \( w \) du rectangle en fonction de la hauteur \( h \): \[ w = 2h = 2y = 2x^2 \] La section transversale est alors un rectangle de largeur \( 2x^2 \) et de hauteur \( x^2 \). Le volume d'un petit élément de solide, d'épaisseur \( dx \), est donné par le produit de la longueur, de la largeur et de l'épaisseur : \[ dV = \text{largeur} \times \text{hauteur} \times dx = (2x^2) \times (x^2) \times dx = 2x^4 \, dx \] Pour trouver le volume total \( V \), nous devons intégrer \( dV \) de \( x = 0 \) à \( x = 2 \): \[ V = \int_0^2 2x^4 \, dx \] Calculons cette intégrale : \[ V = 2 \int_0^2 x^4 \, dx = 2 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = 2 \left( \frac{2^5}{5} - 0 \right) = 2 \left( \frac{32}{5} \right) = \frac{64}{5} \] Ainsi, le volume du solide est \[ \boxed{\frac{64}{5}}. \]