2. Demuestre que \( \sum_{k=1}^{\infty}(\sin k x) / k^{2} \) converge para todos los valores reales de \( x \).
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Para demostrar que la serie \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{k^2} \) converge para todos los valores reales de \( x \), podemos utilizar el criterio de la serie de Dirichlet. Este criterio establece que si tenemos dos sucesiones, \( a_k \) y \( b_k \), donde \( a_k = \sin(kx) \) y \( b_k = \frac{1}{k^2} \), y se verifica que \( \{b_k\} \) es una sucesión monótona y decreciente que converge a 0, así como que la suma parcial de \( a_k \) está acotada, entonces la serie converge. La sucesión \( b_k = \frac{1}{k^2} \) es claramente decreciente y converge a 0. Por otro lado, sabemos que la serie de los senos está acotada debido al hecho que los valores de \( \sin(kx) \) están entre -1 y 1. Por lo tanto, aplicando el criterio de Dirichlet, concluimos que la serie \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{k^2} \) converge para todos los valores reales de \( x \).