2. Demuestre que $$ \sum_{k=1}^{\infty}(\sin k x) / k^{2} $$ converge para todos los valores reales de $$ x $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Sea la serie
$$
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{k^2}.
$$

2. Observamos que para cualquier $$ k $$ y para todo $$ x $$ real se cumple que
$$
\left|\sin(kx)\right|\leq 1.
$$

3. Por lo tanto, se tiene que
$$
\left|\frac{\sin(kx)}{k^2}\right|\leq \frac{1}{k^2}.
$$

4. Se sabe que la serie
$$
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}
$$
es convergente (es una serie $$ p $$ con $$ p = 2 > 1 $$, y su suma es, de hecho, $$ \frac{\pi^2}{6} $$).

5. Por el criterio de comparación, si tenemos una serie cuyos términos en valor absoluto están acotados por los términos de una serie convergente, entonces la serie original converge absolutamente.

6. Por lo tanto, la serie original
$$
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{k^2}
$$
converge absolutamente para todo $$ x \in \mathbb{R} $$.
La serie $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{k^2} $$ converge para todos los valores reales de $$ x $$ porque los términos de la serie están acotados por una serie convergente $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} $$, y por el criterio de comparación, la serie original también converge absolutamente.

2. Demuestre que \( \sum_{k=1}^{\infty}(\sin k x) / k^{2} \) converge para todos los valores reales de \( x \).

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