15) \( \frac{8 x^{3}-3 x-6 x^{4}-2 x^{2}-1}{3 x+4} \)

Procedamos a realizar la división del polinomio   8x³ – 3x – 6x⁴ – 2x² – 1 entre   3x + 4. En primer lugar, ordenamos el numerador en forma decreciente de potencias de x:   –6x⁴ + 8x³ – 2x² – 3x – 1. Ahora dividiremos mediante división larga de polinomios. ───────────────────────────── 1) Dividimos el término de mayor grado del numerador por el término de mayor grado del divisor:   –6x⁴ ÷ 3x = –2x³. Multiplicamos el divisor por –2x³:   (–2x³)(3x + 4) = –6x⁴ – 8x³. Restamos este resultado del numerador:   [ –6x⁴ + 8x³ ] – [ –6x⁴ – 8x³ ] = 16x³. El residuo se actualiza incluyendo los siguientes términos:   16x³ – 2x² – 3x – 1. ───────────────────────────── 2) Dividimos el nuevo término de mayor grado:   16x³ ÷ 3x = (16/3)x². Multiplicamos el divisor por (16/3)x²:   (16/3)x²·(3x + 4) = 16x³ + (64/3)x². Restamos:   [16x³ – 2x²] – [16x³ + (64/3)x²] = –2x² – (64/3)x².   Convertimos –2x² = –(6/3)x², por lo que:   –(6/3 + 64/3)x² = –(70/3)x². Actualizamos el residuo:   –(70/3)x² – 3x – 1. ───────────────────────────── 3) Dividimos el nuevo término de mayor grado:   –(70/3)x² ÷ 3x = –(70/9)x. Multiplicamos el divisor por –(70/9)x:   –(70/9)x·(3x + 4) = –(70/3)x² – (280/9)x. Restamos:   [–(70/3)x² – 3x] – [–(70/3)x² – (280/9)x] = –3x + (280/9)x.   Convierte –3x = –(27/9)x para obtener:   (280/9 – 27/9)x = (253/9)x. Actualizamos el residuo:   (253/9)x – 1. ───────────────────────────── 4) Dividimos el término de mayor grado del residuo:   (253/9)x ÷ 3x = 253/27. Multiplicamos el divisor por 253/27:   (253/27)(3x + 4) = (253/9)x + (1012/27). Restamos:   [(253/9)x – 1] – [(253/9)x + (1012/27)] = –1 – (1012/27). Para combinar –1 con –1012/27, escribimos –1 como –27/27:   –27/27 – 1012/27 = –(27 + 1012)/27 = –1039/27. ───────────────────────────── Quedan terminados los términos, ya que el siguiente residuo es de menor grado que el divisor. Por lo tanto, el cociente (Q(x)) es:   –2x³ + (16/3)x² – (70/9)x + 253/27 y el residuo (R(x)) es:   –1039/27. La expresión inicial se puede escribir en forma de división de polinomios:   (8x³ – 3x – 6x⁴ – 2x² – 1)/(3x + 4) = –2x³ + (16/3)x² – (70/9)x + 253/27 – (1039/27)/(3x + 4). Esta es la respuesta final.