Pregunta
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15) \( \frac{8 x^{3}-3 x-6 x^{4}-2 x^{2}-1}{3 x+4} \)

Ask by West Marshall. in Mexico
Feb 26,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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El cociente es –2x³ + (16⁄3)x² – (70⁄9)x + 253⁄27 y el residuo es –1039⁄27.

Solución

Procedamos a realizar la división del polinomio   8x³ – 3x – 6x⁴ – 2x² – 1 entre   3x + 4. En primer lugar, ordenamos el numerador en forma decreciente de potencias de x:   –6x⁴ + 8x³ – 2x² – 3x – 1. Ahora dividiremos mediante división larga de polinomios. ───────────────────────────── 1) Dividimos el término de mayor grado del numerador por el término de mayor grado del divisor:   –6x⁴ ÷ 3x = –2x³. Multiplicamos el divisor por –2x³:   (–2x³)(3x + 4) = –6x⁴ – 8x³. Restamos este resultado del numerador:   [ –6x⁴ + 8x³ ] – [ –6x⁴ – 8x³ ] = 16x³. El residuo se actualiza incluyendo los siguientes términos:   16x³ – 2x² – 3x – 1. ───────────────────────────── 2) Dividimos el nuevo término de mayor grado:   16x³ ÷ 3x = (16/3)x². Multiplicamos el divisor por (16/3)x²:   (16/3)x²·(3x + 4) = 16x³ + (64/3)x². Restamos:   [16x³ – 2x²] – [16x³ + (64/3)x²] = –2x² – (64/3)x².   Convertimos –2x² = –(6/3)x², por lo que:   –(6/3 + 64/3)x² = –(70/3)x². Actualizamos el residuo:   –(70/3)x² – 3x – 1. ───────────────────────────── 3) Dividimos el nuevo término de mayor grado:   –(70/3)x² ÷ 3x = –(70/9)x. Multiplicamos el divisor por –(70/9)x:   –(70/9)x·(3x + 4) = –(70/3)x² – (280/9)x. Restamos:   [–(70/3)x² – 3x] – [–(70/3)x² – (280/9)x] = –3x + (280/9)x.   Convierte –3x = –(27/9)x para obtener:   (280/9 – 27/9)x = (253/9)x. Actualizamos el residuo:   (253/9)x – 1. ───────────────────────────── 4) Dividimos el término de mayor grado del residuo:   (253/9)x ÷ 3x = 253/27. Multiplicamos el divisor por 253/27:   (253/27)(3x + 4) = (253/9)x + (1012/27). Restamos:   [(253/9)x – 1] – [(253/9)x + (1012/27)] = –1 – (1012/27). Para combinar –1 con –1012/27, escribimos –1 como –27/27:   –27/27 – 1012/27 = –(27 + 1012)/27 = –1039/27. ───────────────────────────── Quedan terminados los términos, ya que el siguiente residuo es de menor grado que el divisor. Por lo tanto, el cociente (Q(x)) es:   –2x³ + (16/3)x² – (70/9)x + 253/27 y el residuo (R(x)) es:   –1039/27. La expresión inicial se puede escribir en forma de división de polinomios:   (8x³ – 3x – 6x⁴ – 2x² – 1)/(3x + 4) = –2x³ + (16/3)x² – (70/9)x + 253/27 – (1039/27)/(3x + 4). Esta es la respuesta final.

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

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The Deep Dive

To simplify the expression \( \frac{8 x^{3}-3 x-6 x^{4}-2 x^{2}-1}{3 x+4} \), we first rearrange the terms in descending order of the power of \( x \): \[ \frac{-6 x^{4} + 8 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 1}{3 x + 4} \] Next, we can use polynomial long division to divide the numerator by the denominator, \( 3x + 4 \). As we perform the division step by step, we start by dividing the leading term of the numerator by the leading term of the denominator. 1. Divide \( -6x^4 \) by \( 3x \) to get \( -2x^3 \). 2. Multiply \( -2x^3 \) by \( 3x + 4 \) to obtain \( -6x^4 - 8x^3 \). 3. Subtract this from the original numerator \( -6x^4 + 8x^3 - 2x^2 - 3x - 1 \) to yield \( 16x^3 - 2x^2 - 3x - 1 \). 4. Repeat the process for \( 16x^3 \) divided by \( 3x \) to get \( \frac{16}{3}x^2 \). 5. Continuing this iterative process allows us to simplify further until we reach a remainder. Finally, the complete division provides us with the quotient, which simplifies until we have a polynomial outcome plus a remainder divided by \( 3x + 4 \). To sum it up, the solution can be expressed as: \[ -2x^3 + \frac{16}{3}x^2 + ... + \text{(remainder)} \] By keeping track of each step, you can simplify higher degree polynomial fractions more confidently!

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