INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGI. CEARÁ - Campus Sobral Professor: Francisco José Calixto de Sousa Aluno(a): $$ \begin{array}{ll} ext { Lista } 16- ext { Derivadas Parciais de Controle } \ ext { Resolva os exercicios impares abaixo: } \ ext { 15. } f(x, y)=y^{5}-3 x y & ext { 16. } f(x, y)=x^{4} y^{3}+8 x^{2} y \ ext { 17. } f(x, t)=e^{-t} \cos \pi x & ext { 18. } f(x, t)=\sqrt{x} \ln t \ ext { 19. } z=(2 x+3 y)^{10} & ext { 20. } z=\operatorname{tg} x y \ ext { 21. } f(x, y)=\frac{x}{y} & ext { 22. } f(x, y)=\frac{x}{(x+y)^{2}} \ ext { 23. } f(x, y)=\frac{a x+b y}{c x+d y} & ext { 24. } w=\frac{e^{v}}{u+v^{2}} \ ext { 25. } g(u, v)=\left(u^{2} v-v^{3} ight)^{5} & ext { 26. } f(x, t)=\operatorname{arctg}(x \sqrt{t})\end{array} $$

Question

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGI. CEARÁ - Campus Sobral Professor: Francisco José Calixto de Sousa Aluno(a): $$ \begin{array}{ll}	ext { Lista } 16-	ext { Derivadas Parciais de Controle } \ 	ext { Resolva os exercicios impares abaixo: } \ 	ext { 15. } f(x, y)=y^{5}-3 x y & 	ext { 16. } f(x, y)=x^{4} y^{3}+8 x^{2} y \ 	ext { 17. } f(x, t)=e^{-t} \cos \pi x & 	ext { 18. } f(x, t)=\sqrt{x} \ln t \ 	ext { 19. } z=(2 x+3 y)^{10} & 	ext { 20. } z=\operatorname{tg} x y \ 	ext { 21. } f(x, y)=\frac{x}{y} & 	ext { 22. } f(x, y)=\frac{x}{(x+y)^{2}} \ 	ext { 23. } f(x, y)=\frac{a x+b y}{c x+d y} & 	ext { 24. } w=\frac{e^{v}}{u+v^{2}} \ 	ext { 25. } g(u, v)=\left(u^{2} v-v^{3}ight)^{5} & 	ext { 26. } f(x, t)=\operatorname{arctg}(x \sqrt{t})\end{array} $$

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**Exercício 15**

Temos  
$$
f(x,y)=y^5-3xy.
$$

*Derivada parcial em relação a $$x$$:*  
Como $$y^5$$ é independente de $$x$$ e a derivada de $$-3xy$$ em relação a $$x$$ é $$-3y$$, temos  
$$
f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=-3y.
$$

*Derivada parcial em relação a $$y$$:*  
Derivando $$y^5$$ em relação a $$y$$ obtemos $$5y^4$$ e, para $$-3xy$$, considerando $$x$$ como constante, temos $$-3x$$. Assim,  
$$
f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=5y^4-3x.
$$

---

**Exercício 17**

Temos  
$$
f(x,t)=e^{-t}\cos (\pi x).
$$

*Derivada parcial em relação a $$x$$:*  
Nesse caso, $$e^{-t}$$ é constante em relação a $$x$$ e a derivada de $$\cos (\pi x)$$ é $$-\pi \sin (\pi x)$$. Assim,  
$$
f_x(x,t)=e^{-t}\cdot \left[-\pi \sin (\pi x)\right]=- \pi e^{-t}\sin (\pi x).
$$

*Derivada parcial em relação a $$t$$:*  
Aqui, $$\cos (\pi x)$$ é constante em relação a $$t$$ e a derivada de $$e^{-t}$$ é $$-e^{-t}$$. Portanto,  
$$
f_t(x,t)=\frac{\partial f}{\partial t}=-e^{-t}\cos (\pi x).
$$

---

**Exercício 19**

Temos  
$$
z=(2x+3y)^{10}.
$$

*Derivada parcial em relação a $$x$$:*  
Utilizando a regra da cadeia, derivamos:
$$
z_x=\frac{\partial z}{\partial x}=10(2x+3y)^9\cdot \frac{\partial}{\partial x}(2x+3y)=10(2x+3y)^9\cdot 2=20(2x+3y)^9.
$$

*Derivada parcial em relação a $$y$$:*  
De modo semelhante,
$$
z_y=\frac{\partial z}{\partial y}=10(2x+3y)^9\cdot \frac{\partial}{\partial y}(2x+3y)=10(2x+3y)^9\cdot 3=30(2x+3y)^9.
$$

---

**Exercício 21**

Temos  
$$
f(x,y)=\frac{x}{y}.
$$

Podemos reescrever $$ f(x,y)=x\, y^{-1} $$.

*Derivada parcial em relação a $$x$$:*  
Considerando $$y^{-1}$$ como constante,
$$
f_x(x,y)=\frac{\partial }{\partial x}(x\, y^{-1})=1\cdot y^{-1}=\frac{1}{y}.
$$

*Derivada parcial em relação a $$y$$:*  
Diferenciando em relação a $$y$$,
$$
f_y(x,y)=\frac{\partial }{\partial y}(x\, y^{-1})=x\cdot (-1)y^{-2}=-\frac{x}{y^2}.
$$

---

**Exercício 23**

Temos  
$$
f(x,y)=\frac{ax+by}{cx+dy},
$$
onde $$a$$, $$b$$, $$c$$ e $$d$$ são constantes.

*Derivada parcial em relação a $$x$$:*  
Aplicando a regra do quociente,
$$
f_x(x,y)=\frac{ \frac{\partial}{\partial x}(ax+by)\,(cx+dy) - (ax+by)\,\frac{\partial}{\partial x}(cx+dy)}{(cx+dy)^2}.
$$
Calculamos:
$$
\frac{\partial}{\partial x}(ax+by)=a \quad \text{e} \quad \frac{\partial}{\partial x}(cx+dy)=c.
$$
Portanto,
$$
f_x(x,y)=\frac{ a(cx+dy)-(ax+by)c }{(cx+dy)^2}=\frac{acx+ady-acx-bcy}{(cx+dy)^2}=\frac{y(ad-bc)}{(cx+dy)^2}.
$$

*Derivada parcial em relação a $$y$$:*  
Da mesma forma,
$$
f_y(x,y)=\frac{ \frac{\partial}{\partial y}(ax+by)\,(cx+dy) - (ax+by)\,\frac{\partial}{\partial y}(cx+dy)}{(cx+dy)^2}.
$$
Como,
$$
\frac{\partial}{\partial y}(ax+by)=b \quad \text{e} \quad \frac{\partial}{\partial y}(cx+dy)=d,
$$
obtemos:
$$
f_y(x,y)=\frac{ b(cx+dy)-(ax+by)d }{(cx+dy)^2}=\frac{bcx+bdy-adx-bdy}{(cx+dy)^2}=\frac{x(bc-ad)}{(cx+dy)^2}.
$$

---

**Exercício 25**

Temos  
$$
g(u,v)=(u^2v-v^3)^5.
$$

Definindo a função interna como  
$$
G(u,v)=u^2v-v^3,
$$
utilizamos a regra da cadeia.

*Derivada parcial em relação a $$u$$:*  
Calculando:
$$
g_u(u,v)=5\,(G(u,v))^4\cdot \frac{\partial G}{\partial u}(u,v).
$$
Como
$$
\frac{\partial}{\partial u}(u^2v)=2uv \quad \text{e} \quad \frac{\partial}{\partial u}(-v^3)=0,
$$
temos:
$$
g_u(u,v)=5\,(u^2v-v^3)^4\cdot 2uv=10uv\,(u^2v-v^3)^4.
$$

*Derivada parcial em relação a $$v$$:*  
Da mesma forma,
$$
g_v(u,v)=5\,(G(u,v))^4\cdot \frac{\partial G}{\partial v}(u,v).
$$
Calculando:
$$
\frac{\partial}{\partial v}(u^2v)=u^2 \quad \text{e} \quad \frac{\partial}{\partial v}(-v^3)=-3v^2,
$$
logo,
$$
g_v(u,v)=5\,(u^2v-v^3)^4\,(u^2-3v^2).
$$
**Respostas aos Exercícios Impares:** 15. $$ f_x(x,y) = -3y, \quad f_y(x,y) = 5y^4 - 3x $$ 17. $$ f_x(x,t) = -\pi e^{-t} \sin(\pi x), \quad f_t(x,t) = -e^{-t} \cos(\pi x) $$ 19. $$ f_x(x,y) = 20(2x + 3y)^9, \quad f_y(x,y) = 30(2x + 3y)^9 $$ 21. $$ f_x(x,y) = \frac{1}{y}, \quad f_y(x,y) = -\frac{x}{y^2} $$ 23. $$ f_x(x,y) = \frac{y(ad - bc)}{(cx + dy)^2}, \quad f_y(x,y) = \frac{x(bc - ad)}{(cx + dy)^2} $$ 25. $$ g_u(u,v) = 10uv(u^2v - v^3)^4, \quad g_v(u,v) = 5(u^2v - v^3)^4(u^2 - 3v^2) $$

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