1. Em 1937, o estadunidense Raymond Haugh criou a unidade de medida Haugh $$ (U H) $$, que é usada até hoje para medir a qualidade interna dos ovos. Considere a equação: $$ Q_{i}=100 \cdot \log \left(H+7,57-1,7 p^{0,37}\right) $$ Em que $$ Q_{i} $$ é a qualidade interna do ovo, em $$ U H ; H $$ é a espes- sura da albumina (clara do ovo), em milímetros; e pé o peso do ovo (com a casca), em gramas. a) Considere um ovo de peso igual a 56,7 gramas e com espessura da albumina igual a 6,08 milímetros. Calcule a qualidade interna dese ovo, em UH. (Dados: log $$ 2=0,3 $$, log $$ 3=0,47 $$ e $$ 56,7,37=4,5) $$ b) A qualidade dos ovos é avaliada de acordo com os seguintes valores: - inferior $$ (B): Q_{i}72 $$. Considere ovos com o mesmo peso do ovo do item a e descreva os intervalos de qualidade do ovo de acordo com a espessura da albumina $$ H $$.

Question

1. Em 1937, o estadunidense Raymond Haugh criou a unidade de medida Haugh $$ (U H) $$, que é usada até hoje para medir a qualidade interna dos ovos. Considere a equação: $$ Q_{i}=100 \cdot \log \left(H+7,57-1,7 p^{0,37}\right) $$ Em que $$ Q_{i} $$ é a qualidade interna do ovo, em $$ U H ; H $$ é a espes- sura da albumina (clara do ovo), em milímetros; e pé o peso do ovo (com a casca), em gramas. a) Considere um ovo de peso igual a 56,7 gramas e com espessura da albumina igual a 6,08 milímetros. Calcule a qualidade interna dese ovo, em UH. (Dados: log $$ 2=0,3 $$, log $$ 3=0,47 $$ e $$ 56,7,37=4,5) $$ b) A qualidade dos ovos é avaliada de acordo com os seguintes valores: - inferior $$ (B): Q_{i}<60 ; $$ - alta (A): $$ 60 \leq Q_{i} \leq 72 ; $$ excelente $$ (A A): Q_{i}>72 $$. Considere ovos com o mesmo peso do ovo do item a e descreva os intervalos de qualidade do ovo de acordo com a espessura da albumina $$ H $$.

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**a)** Dada a equação $$ Q_{i} = 100 \cdot \log \left(H + 7,57 - 1,7\, p^{0,37}\right) $$ para um ovo com $$ p = 56,7 $$ gramas e $$ H = 6,08 $$ milímetros, temos: 1. Primeiro, utilize o fato de que $$ 56,7^{0,37} = 4,5 $$. 2. Substituindo os valores, o argumento do logaritmo fica $$ 6,08 + 7,57 - 1,7 \times 4,5. $$ 3. Calcule a soma: $$ 6,08 + 7,57 = 13,65. $$ 4. Calcule o produto: $$ 1,7 \times 4,5 = 7,65. $$ 5. Subtraindo: $$ 13,65 - 7,65 = 6,00. $$ 6. Assim, $$ Q_{i} = 100 \cdot \log (6,00). $$ 7. Sabendo que $$ \log (6) = \log (2 \times 3) = \log 2 + \log 3 $$, e usando os dados $$ \log 2 = 0,3 $$ e $$ \log 3 = 0,47 $$, temos: $$ \log (6) = 0,3 + 0,47 = 0,77. $$ 8. Portanto, $$ Q_{i} = 100 \times 0,77 = 77\, UH. $$ **b)** Considerando que o peso $$ p $$ permanece igual (ou seja, $$ p^{0,37} = 4,5 $$), a equação pode ser reescrita como função de $$ H $$: 1. Partindo da equação original: $$ Q_{i} = 100 \cdot \log \left(H + 7,57 - 1,7\, \times 4,5\right). $$ 2. Calculando $$ 1,7 \times 4,5 = 7,65 $$ e simplificando: $$ H + 7,57 - 7,65 = H - 0,08. $$ 3. Assim, $$ Q_{i} = 100 \cdot \log (H - 0,08). $$ A classificação dos ovos é dada pelos seguintes critérios: - **Inferior (B):** $$ Q_{i} < 60 $$. - **Alta (A):** $$ 60 \leq Q_{i} \leq 72 $$. - **Excelente (AA):** $$ Q_{i} > 72 $$. Determine os intervalos de $$ H $$ para cada categoria: 1. **Para $$ Q_{i} < 60 $$:** $$ 100 \cdot \log (H - 0,08) < 60 \quad \Longrightarrow \quad \log (H - 0,08) < 0,6. $$ Convertendo para forma exponencial: $$ H - 0,08 < 10^{0,6}. $$ Sabendo que $$ 10^{0,6} \approx 3,98 $$, temos: $$ H < 3,98 + 0,08 = 4,06. $$ 2. **Para $$ 60 \leq Q_{i} \leq 72 $$:** $$ 60 \leq 100 \cdot \log (H - 0,08) \leq 72 \quad \Longrightarrow \quad 0,6 \leq \log (H - 0,08) \leq 0,72. $$ Convertendo para forma exponencial: $$ 10^{0,6} \leq H - 0,08 \leq 10^{0,72}. $$ Utilizando $$ 10^{0,6} \approx 3,98 $$ e $$ 10^{0,72} \approx 5,25 $$: $$ 3,98 \leq H - 0,08 \leq 5,25. $$ Adicionando $$ 0,08 $$ em todos os termos: $$ 4,06 \leq H \leq 5,33. $$ 3. **Para $$ Q_{i} > 72 $$:** $$ 100 \cdot \log (H - 0,08) > 72 \quad \Longrightarrow \quad \log (H - 0,08) > 0,72. $$ Convertendo para forma exponencial: $$ H - 0,08 > 10^{0,72} \approx 5,25. $$ Adicionando $$ 0,08 $$: $$ H > 5,33. $$ **Resumo dos intervalos de qualidade conforme a espessura da albumina $$ H $$:** - Para ovos de qualidade **inferior (B)**: $$ H < 4,06 \text{ mm}. $$ - Para ovos de qualidade **alta (A)**: $$ 4,06 \leq H \leq 5,33 \text{ mm}. $$ - Para ovos de qualidade **excelente (AA)**: $$ H > 5,33 \text{ mm}. $$ **a)** Para um ovo com 56,7 gramas e 6,08 milímetros de espessura da albumina, a qualidade interna é 77 UH. **b)** - **Inferior (B):** Espessura da albumina menor que 4,06 mm. - **Alta (A):** Entre 4,06 mm e 5,33 mm. - **Excelente (AA):** Maior que 5,33 mm.

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