$$ \sin ( x + \frac { \pi } { 4 } ) \leq \frac { 1 } { 2 } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Чтобы решить неравенство $$ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leq \frac{1}{2} $$, начнем с нахождения значений $$ x + \frac{\pi}{4} $$, для которых синус меньше или равен $$ \frac{1}{2} $$.

Синус равен $$ \frac{1}{2} $$ при углах:
$$
\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

Таким образом, неравенство $$ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leq \frac{1}{2} $$ будет выполняться в интервалах, где $$ x + \frac{\pi}{4} $$ находится между этими значениями.

1. Для первого случая:
$$
x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{1}{2} \implies x \leq \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4}
$$

2. Для второго случая:
$$
x + \frac{\pi}{4} \geq \frac{5\pi}{6} \implies x \geq \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4}
$$

Теперь найдем $$ \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} $$:
$$
\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{10\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}
$$

Таким образом, мы имеем два условия:
1. $$ x \leq \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} $$
2. $$ x \geq \frac{7\pi}{12} $$

Теперь определим, в каких интервалах выполняется неравенство. Поскольку синус периодичен, мы можем записать общее решение:

$$
x \in \left(-\infty, \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{12}, +\infty\right)
$$

Это и будет решением неравенства $$ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leq \frac{1}{2} $$.
Решение неравенства $$ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leq \frac{1}{2} $$: $$ x \in \left(-\infty, \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{12}, +\infty\right) $$

\( \sin ( x + \frac { \pi } { 4 } ) \leq \frac { 1 } { 2 } \)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Trigonometry Questions