cular el valor exacto del $$ \lim _{x \rightarrow \frac{63}{5}} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{63}{5}}}{x-\frac{63}{5}}= $$

Question

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Consideramos la función
$$
f(x)=\frac{1}{x}.
$$
El límite que se nos pide calcular es
$$
\lim_{x \rightarrow \frac{63}{5}} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{63}{5}}}{x-\frac{63}{5}},
$$
el cual tiene la forma de la definición del derivado de $$ f(x) $$ en el punto $$ a=\frac{63}{5} $$. Es decir, se cumple que
$$
f'(a)=\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
$$

Procedemos a encontrar la derivada de $$ f(x) $$:
$$
f(x)=\frac{1}{x} \quad \Rightarrow \quad f'(x)=-\frac{1}{x^2}.
$$
Por lo tanto, evaluamos la derivada en $$ x=\frac{63}{5} $$:
$$
f'\left(\frac{63}{5}\right)=-\frac{1}{\left(\frac{63}{5}\right)^2}.
$$

Calculamos el cuadrado de $$ \frac{63}{5} $$:
$$
\left(\frac{63}{5}\right)^2=\frac{63^2}{5^2}=\frac{3969}{25}.
$$

Sustituyendo en la fórmula de la derivada:
$$
f'\left(\frac{63}{5}\right)=-\frac{1}{\frac{3969}{25}}=-\frac{25}{3969}.
$$

Por lo tanto, el valor exacto del límite es:
$$
-\frac{25}{3969}.
$$
El valor exacto del límite es $$ -\frac{25}{3969} $$.

cular el valor exacto del

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