El sistema de ecuaciones lineales \( \left\{\begin{array}{l}k x+2 y+2 z=2 \\ 2 x+k y+2 z=2 . \text { Tiene solución unica si: } \\ 2 x+2 y+k z=2\end{array}\right. \)

Sea el sistema de ecuaciones \[ \begin{cases} k x + 2y + 2z = 2, \\ 2x + k y + 2z = 2, \\ 2x + 2y + k z = 2. \end{cases} \] Para que el sistema tenga solución única es necesario que la matriz de coeficientes tenga determinante distinto de cero. 1. La matriz de coeficientes es \[ A = \begin{pmatrix} k & 2 & 2 \\ 2 & k & 2 \\ 2 & 2 & k \end{pmatrix}. \] 2. Calculamos el determinante de \(A\): \[ \Delta = \det(A) = k\det\begin{pmatrix} k & 2 \\ 2 & k \end{pmatrix} - 2\det\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & k \end{pmatrix} + 2\det\begin{pmatrix} 2 & k \\ 2 & 2 \end{pmatrix}. \] 3. Evaluamos cada determinante \(2\times2\): - \(\det\begin{pmatrix} k & 2 \\ 2 & k \end{pmatrix} = k^2 - 4\). - \(\det\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & k \end{pmatrix} = 2k - 4\). - \(\det\begin{pmatrix} 2 & k \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = 4 - 2k\). 4. Sustituyendo en la expresión de \(\Delta\): \[ \Delta = k (k^2 - 4) - 2(2k - 4) + 2(4 - 2k). \] 5. Desarrollamos cada término: - Primer término: \( k (k^2 - 4) = k^3 - 4k \). - Segundo término: \( -2(2k - 4) = -4k + 8 \). - Tercer término: \( 2(4 - 2k) = 8 - 4k \). 6. Sumamos: \[ \Delta = k^3 - 4k -4k + 8 + 8 - 4k = k^3 - 12k + 16. \] 7. Factorizamos el polinomio \( k^3 - 12k + 16 \). Observamos que \( k=2 \) es raíz, ya que \[ 2^3 - 12(2) + 16 = 8 - 24 + 16 = 0. \] Dividiendo \( k^3 - 12k + 16 \) entre \( (k - 2) \), obtenemos \[ k^3 - 12k + 16 = (k-2)(k^2+2k-8). \] El trinomio \( k^2+2k-8 \) se factoriza utilizando la fórmula general: \[ k = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(-8)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}, \] lo que da las raíces: - \( k = \frac{-2+6}{2} = 2 \), - \( k = \frac{-2-6}{2} = -4 \). Por lo tanto, la factorización completa es \[ k^3 - 12k + 16 = (k-2)^2 (k+4). \] 8. Para que el sistema tenga solución única, se requiere que \[ \Delta \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad (k-2)^2 (k+4) \neq 0. \] Esto implica que \[ k-2 \neq 0 \quad \text{y} \quad k+4 \neq 0, \] es decir, \[ k \neq 2 \quad \text{y} \quad k \neq -4. \] La condición necesaria y suficiente para que el sistema tenga solución única es que \( k \neq 2 \) y \( k \neq -4 \).