а $$ \angle 1=\angle 2 $$. Докажите, что $$ riangle A C O= riangle B D O $$. 143. Точка $$ O $$ лелит на биссектрисе урия $$ A $$, а точяи $$ B $$ н $$ C $$ $$ \mathrm{BO}=\mathrm{CO} $$. 144. $$ B D $$ - биссектриса равнобедрениого треугопника $$ A B C $$ Найдите сторону $$ A C $$ и $$ \angle A B D $$, если $$ A D=7 \mathrm{~cm} $$, а $$ \angle A B C=29^{\circ} $$.

Question

а $$ \angle 1=\angle 2 $$. Докажите, что $$ 	riangle A C O=	riangle B D O $$. 143. Точка $$ O $$ лелит на биссектрисе урия $$ A $$, а точяи $$ B $$ н $$ C $$ $$ \mathrm{BO}=\mathrm{CO} $$. 144. $$ B D $$ - биссектриса равнобедрениого треугопника $$ A B C $$ Найдите сторону $$ A C $$ и $$ \angle A B D $$, если $$ A D=7 \mathrm{~cm} $$, а $$ \angle A B C=29^{\circ} $$.

UpStudy AI · Accepted Answer

### Задача 143

**Условие:**
Точка $$ O $$ лежит на биссектрисе угла $$ A $$ треугольника $$ ABC $$, а точки $$ B $$ и $$ C $$ такие, что $$ BO = CO $$. Дано, что $$ \angle 1 = \angle 2 $$. Докажите, что $$ \triangle ACO $$ равен $$ \triangle BDO $$.

**Решение:**

Предположим, что имеется треугольник $$ ABC $$ с биссектрисой из вершины $$ A $$, на которой лежит точка $$ O $$. Известно, что $$ BO = CO $$ и $$ \angle 1 = \angle 2 $$.

1. Поскольку $$ O $$ лежит на биссектрисе угла $$ A $$, то угол при вершине $$ A $$ делится на два равных угла:
   $$
   \angle BAO = \angle CAO
   $$

2. Из условия $$ BO = CO $$ следует, что треугольники $$ \triangle BOC $$ равнобедренные с основанием $$ BC $$.

3. Обозначим точку пересечения биссектрисы $$ BD $$ с $$ CO $$ как точку $$ D $$.

4. Рассмотрим треугольники $$ \triangle ACO $$ и $$ \triangle BDO $$:
   - В обоих треугольниках имеется сторона $$ CO = BO $$ по условию.
   - $$ \angle ACO = \angle BDO $$ по условию $$ \angle 1 = \angle 2 $$.
   - Общая сторона $$ \overline{AO} $$ в треугольнике $$ ACO $$ и $$ \overline{DO} $$ в треугольнике $$ BDO $$.

5. По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), получаем:
   $$
   \triangle ACO \cong \triangle BDO
   $$

**Ответ:** Треугольники $$ \triangle ACO $$ и $$ \triangle BDO $$ равны.

---

### Задача 144

**Условие:**
$$ BD $$ — биссектриса равнобедренного треугольника $$ ABC $$. Найдите сторону $$ AC $$ и угол $$ \angle ABD $$, если $$ AD = 7 $$ см, а $$ \angle ABC = 29^\circ $$.

**Решение:**

1. В равнобедренном треугольнике $$ ABC $$ предположим, что основания равны $$ AB = AC $$.

2. Поскольку $$ BD $$ — биссектриса угла $$ ABC $$, то она делит его на два равных угла:
   $$
   \angle ABD = \angle CBD = \frac{29^\circ}{2} = 14.5^\circ
   $$

3. В треугольнике $$ ABD $$ знаем:
   - $$ AD = 7 $$ см,
   - $$ \angle ABD = 14.5^\circ $$,
   - $$\angle BAD = $$ основанное на равнобедренности треугольника $$ ABC $$, угол при вершине $$ A $$ равен $$ \angle BAC $$.

4. Определим угол при вершине $$ A $$:
   $$
   \angle BAC = 180^\circ - 2 \times 29^\circ = 122^\circ
   $$

5. Теперь можно применить закон синусов в треугольнике $$ ABD $$:
   $$
   \frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{AB}{\sin \angle BAD}
   $$
   $$
   \frac{7}{\sin 14.5^\circ} = \frac{AB}{\sin 122^\circ}
   $$
   Отсюда:
   $$
   AB = \frac{7 \cdot \sin 122^\circ}{\sin 14.5^\circ} \approx \frac{7 \cdot 0.8387}{0.2504} \approx \frac{5.871}{0.2504} \approx 23.45 \text{ см}
   $$

6. Поскольку $$ AB = AC $$, то:
   $$
   AC \approx 23.45 \text{ см}
   $$

7. Угол $$ \angle ABD = 14.5^\circ $$.

**Ответ:** 
- Сторона $$ AC $$ равна приблизительно $$ 23{,}45 $$ см;
- Угол $$ \angle ABD = 14{,}5^\circ $$.
**Задача 143** Докажите, что треугольники $$ \triangle ACO $$ и $$ \triangle BDO $$ равны. **Решение:** 1. Точка $$ O $$ лежит на биссектрисе угла $$ A $$, поэтому $$ \angle BAO = \angle CAO $$. 2. $$ BO = CO $$, так как $$ O $$ равноудалена от точек $$ B $$ и $$ C $$. 3. Углы $$ \angle ACO $$ и $$ \angle BDO $$ равны по условию. 4. Общая сторона $$ \overline{AO} $$ в обоих треугольниках. По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними ($$ SAS $$), $$ \triangle ACO \cong \triangle BDO $$. **Ответ:** $$ \triangle ACO $$ равен $$ \triangle BDO $$. --- **Задача 144** Найдите сторону $$ AC $$ и угол $$ \angle ABD $$ в равнобедренном треугольнике $$ ABC $$, если $$ AD = 7 $$ см и $$ \angle ABC = 29^\circ $$. **Решение:** 1. В равнобедренном треугольнике $$ ABC $$, $$ AB = AC $$. 2. $$ BD $$ — биссектриса угла $$ ABC $$, поэтому $$ \angle ABD = \angle CBD = 14.5^\circ $$. 3. Угол при вершине $$ A $$ равен $$ 180^\circ - 2 \times 29^\circ = 122^\circ $$. 4. В треугольнике $$ ABD $$ применим закон синусов: $$ \frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{AB}{\sin \angle BAD} $$ $$ AB = \frac{7 \cdot \sin 122^\circ}{\sin 14.5^\circ} \approx 23.45 \text{ см} $$ 5. Следовательно, $$ AC = AB \approx 23.45 $$ см. 6. Угол $$ \angle ABD = 14.5^\circ $$. **Ответ:** - Сторона $$ AC $$ равна приблизительно $$ 23{,}45 $$ см; - Угол $$ \angle ABD = 14{,}5^\circ $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Geometry Questions