Exercice 6 : Deux joueurs A et B jouent au jeu de dé suivant. On lance un dé équilibré à 6 faces. Si un multiple de 2 sort B donne 3 francs à A Si le numéro 3 ou 5 sort A donne 2 francs \( \mathrm{B} . \mathrm{Si} \) le numéro 1 apparait, on a jeu nul. 1) Déterminer l'univers \( \Omega \), et les deux variables \( X \) et \( Y \) qui désignent respectivement les gains des joueurs A et B . 2) Déterminer les ensembles \( X(\Omega) \) et \( Y(\Omega) \). 3) Déterminer la loi de la variable aléatoire \( X \). 4) Déterminer la fonction de répartition de \( X \) 5) Déterminer la loi de la variable aléatoire \( Y \). 6) Déterminer la fonction de répartition de \( Y \) 7) Calculer les espérances \( E(X), E(Y) \) et \( E(X+Y) \).

L'univers \( \Omega \) du jeu se compose des six résultats possibles d'un lancé de dé : \( \Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \). Les variables aléatoires \( X \) et \( Y \) déterminent les gains des joueurs A et B respectivement en fonction du résultat du dé. Pour \( X \) : - Si un multiple de 2 sort (2, 4, 6), alors \( X = 3 \) (A gagne 3 francs). - Si le 3 ou 5 sort, alors \( X = -2 \) (A perd 2 francs). - Pour le 1, \( X = 0 \) (jeu nul). Pour \( Y \) : - Si un multiple de 2 sort (2, 4, 6), alors \( Y = -3 \) (B perd 3 francs). - Si le 3 ou 5 sort, alors \( Y = 2 \) (B gagne 2 francs). - Pour le 1, \( Y = 0 \) (jeu nul). Les ensembles des gains sont donc : - \( X(\Omega) = \{-2, 0, 3\} \) - \( Y(\Omega) = \{2, 0, -3\} \). La loi de la variable aléatoire \( X \) peut être déterminée ainsi : - \( P(X = 3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) (pour les résultats 2, 4, 6), - \( P(X = -2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) (pour les résultats 3, 5), - \( P(X = 0) = \frac{1}{6} \) (pour le résultat 1). La fonction de répartition de \( X \) se définit alors en cumulant les probabilités : - Pour \( x < -2, F_X(x) = 0 \) - Pour \( -2 \leq x < 0, F_X(x) = \frac{1}{3} \) - Pour \( 0 \leq x < 3, F_X(x) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \) - Pour \( x \geq 3, F_X(x) = 1 \) Concernant \( Y \), on a : - \( P(Y = 2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) (pour les résultats 3, 5), - \( P(Y = 0) = \frac{1}{6} \) (pour le résultat 1), - \( P(Y = -3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) (pour les résultats 2, 4, 6). La fonction de répartition \( F_Y(y) \) serait : - Pour \( y < -3, F_Y(y) = 0 \) - Pour \( -3 \leq y < 0, F_Y(y) = \frac{1}{2} \) - Pour \( 0 \leq y < 2, F_Y(y) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \) - Pour \( y \geq 2, F_Y(y) = 1 \) Pour les espérances, on calcule : - \( E(X) = 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) + (-2) \cdot \left( \frac{1}{3} \right) + 0 \cdot \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9 - 4}{6} = \frac{5}{6} \). - \( E(Y) = 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right) + 0 \cdot \left( \frac{1}{6} \right) + (-3) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{2}{3} - \frac{9}{6} = \frac{4 - 9}{6} = -\frac{5}{6} \). - Pour \( E(X + Y) \), on a \( E(X + Y) = E(X) + E(Y)