Exercice 6 : Deux joueurs A et B jouent au jeu de dé suivant. On lance un dé équilibré à 6 faces. Si un multiple de 2 sort B donne 3 francs à A Si le numéro 3 ou 5 sort A donne 2 francs \( \mathrm{B} . \mathrm{Si} \) le numéro 1 apparait, on a jeu nul. 1) Déterminer l'univers \( \Omega \), et les deux variables \( X \) et \( Y \) qui désignent respectivement les gains des joueurs A et B . 2) Déterminer les ensembles \( X(\Omega) \) et \( Y(\Omega) \). 3) Déterminer la loi de la variable aléatoire \( X \). 4) Déterminer la fonction de répartition de \( X \) 5) Déterminer la loi de la variable aléatoire \( Y \). 6) Déterminer la fonction de répartition de \( Y \) 7) Calculer les espérances \( E(X), E(Y) \) et \( E(X+Y) \).

Pour résoudre cet exercice, nous allons suivre les étapes demandées. ### 1) Déterminer l'univers \( \Omega \), et les deux variables \( X \) et \( Y \) L'univers \( \Omega \) est l'ensemble des résultats possibles d'un lancer de dé à 6 faces. Donc : \[ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \] Les variables \( X \) et \( Y \) désignent respectivement les gains des joueurs A et B : - Si un multiple de 2 sort (2, 4, 6), A gagne 3 francs, donc \( X = 3 \) et \( Y = -3 \). - Si le numéro 3 ou 5 sort, A perd 2 francs, donc \( X = -2 \) et \( Y = 2 \). - Si le numéro 1 sort, le jeu est nul, donc \( X = 0 \) et \( Y = 0 \). ### 2) Déterminer les ensembles \( X(\Omega) \) et \( Y(\Omega) \) Nous allons maintenant déterminer les valeurs possibles pour \( X \) et \( Y \) en fonction des résultats de \( \Omega \). - Pour \( X \): - \( X(1) = 0 \) - \( X(2) = 3 \) - \( X(3) = -2 \) - \( X(4) = 3 \) - \( X(5) = -2 \) - \( X(6) = 3 \) Donc, l'ensemble des valeurs possibles pour \( X \) est : \[ X(\Omega) = \{0, 3, -2\} \] - Pour \( Y \): - \( Y(1) = 0 \) - \( Y(2) = -3 \) - \( Y(3) = 2 \) - \( Y(4) = -3 \) - \( Y(5) = 2 \) - \( Y(6) = -3 \) Donc, l'ensemble des valeurs possibles pour \( Y \) est : \[ Y(\Omega) = \{0, -3, 2\} \] ### 3) Déterminer la loi de la variable aléatoire \( X \) Pour déterminer la loi de \( X \), nous allons calculer les probabilités associées à chaque valeur de \( X \). - \( P(X = 3) \): Les résultats 2, 4, 6 (3 résultats) donc \( P(X = 3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) - \( P(X = -2) \): Les résultats 3, 5 (2 résultats) donc \( P(X = -2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) - \( P(X = 0) \): Le résultat 1 (1 résultat) donc \( P(X = 0) = \frac{1}{6} \) La loi de \( X \) est donc : \[ \begin{align*} P(X = 3) & = \frac{1}{2} \\ P(X = -2) & = \frac{1}{3} \\ P(X = 0) & = \frac{1}{6} \end{align*} \] ### 4) Déterminer la fonction de répartition de \( X \) La fonction de répartition \( F_X(x) \) est définie comme \( P(X \leq x) \). \[ \begin{align*} F_X(-2) & = P(X \leq -2) = P(X = -2) = \frac{1}{3} \\ F_X(0) & = P(X \leq 0) = P(X = -2) + P(X = 0) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \\ F_X(3) & = P(X \leq 3) = P(X = -2) + P(X = 0) + P(X = 3) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = 1 \end{align*} \] La fonction de répartition est donc : \[ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < -2 \\ \frac{1}{3} & \text{si } -2 \leq x < 0 \\ \frac{1}{2} & \text{si } 0 \leq x < 3 \\ 1 & \text{si } x \geq 3 \end{cases} \] ### 5) Déterminer la loi de la variable aléatoire \( Y \) Nous allons maintenant calculer les probabilités associées à chaque valeur de \( Y \). - \( P(Y = 2) \): Les résultats 3, 5 (2 résultats) donc \( P(Y = 2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) - \( P(Y = -3) \): Les résultats 2, 4, 6 (3 résultats) donc \( P(Y = -3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) - \( P(Y = 0) \): Le résultat 1 (1 résultat) donc \( P(Y = 0) = \frac{1}{6} \) La loi de \( Y \) est donc : \[ \begin{align*} P(Y = 2) & = \frac{1}{3} \\ P(Y = -3) & = \frac{1}{2} \\ P(Y = 0) & = \frac{1}{6} \end{align*} \] ### 6) Déterminer la fonction de répartition de \( Y \) La fonction de répartition \( F_Y(y) \) est définie comme \( P(Y \leq y) \). \[ \begin{align*} F_Y(-3) & = P(Y \leq -3) = P(Y = -3) = \frac{1}{2} \\ F_Y(0) & = P(Y \leq 0) = P(Y = -3) + P(Y = 0) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \\ F_Y(2) & = P(Y \leq 2) = P(Y = -3) + P(Y = 0) + P(Y = 2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{