4. Sean $$ a=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), b=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} $$. Recuerde que la definición de producto interno es $$ a \cdot b=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3} \in \mathbb{R} \text {. } $$ Es decir, el producto interno de dos vectores de $$ \mathbb{R}^{3} $$ produce un número real. Con base en lo anterior, para $$ a=(1,2,-1), b=(0,1,1), c=(0,-1,0) $$ determine en las expresiones a seguir si se corresponde a un vector en $$ \mathbb{R}^{3} $$, a un numero real o si carece de sentido. En los casos posibles determine el resultado. $$ \begin{array}{ll}\text { a) } a \cdot b+4 & \text { c) } 2(a \cdot b) c-b \ \text { b) } 2 a+3(b \cdot c) & \text { d) } 3(a+b) \cdot c\end{array} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Vamos a analizar cada una de las expresiones dadas y determinar si corresponden a un vector en $$ \mathbb{R}^{3} $$, a un número real o si carecen de sentido. También calcularemos los resultados cuando sea posible.

### Datos:
- $$ a = (1, 2, -1) $$
- $$ b = (0, 1, 1) $$
- $$ c = (0, -1, 0) $$

### a) $$ a \cdot b + 4 $$

Primero, calculamos el producto interno $$ a \cdot b $$:

$$
a \cdot b = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1
$$

Ahora, calculamos el resultado:

$$
a \cdot b = 0 + 2 - 1 = 1
$$

Entonces, $$ a \cdot b + 4 = 1 + 4 = 5 $$, que es un número real.

### b) $$ 2a + 3(b \cdot c) $$

Primero, calculamos $$ b \cdot c $$:

$$
b \cdot c = b_{1}c_{1} + b_{2}c_{2} + b_{3}c_{3} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0
$$

Calculamos el resultado:

$$
b \cdot c = 0 - 1 + 0 = -1
$$

Ahora, calculamos $$ 2a + 3(b \cdot c) $$:

$$
2a = 2(1, 2, -1) = (2, 4, -2)
$$
$$
3(b \cdot c) = 3(-1) = -3
$$

Ahora, sumamos $$ 2a $$ y $$ 3(b \cdot c) $$:

$$
2a + 3(b \cdot c) = (2, 4, -2) + (-3) = (2 - 3, 4, -2) = (-1, 4, -2)
$$

Esto es un vector en $$ \mathbb{R}^{3} $$.

### c) $$ 2(a \cdot b)c - b $$

Ya sabemos que $$ a \cdot b = 1 $$, así que:

$$
2(a \cdot b)c = 2(1)(0, -1, 0) = (0, -2, 0)
$$

Ahora, restamos $$ b $$:

$$
(0, -2, 0) - (0, 1, 1) = (0 - 0, -2 - 1, 0 - 1) = (0, -3, -1)
$$

Esto es un vector en $$ \mathbb{R}^{3} $$.

### d) $$ 3(a + b) \cdot c $$

Primero, calculamos $$ a + b $$:

$$
a + b = (1, 2, -1) + (0, 1, 1) = (1 + 0, 2 + 1, -1 + 1) = (1, 3, 0)
$$

Ahora, calculamos el producto interno $$ (a + b) \cdot c $$:

$$
(a + b) \cdot c = 1 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = 0 - 3 + 0 = -3
$$

Finalmente, multiplicamos por 3:

$$
3((a + b) \cdot c) = 3(-3) = -9
$$

Esto es un número real.

### Resumen de resultados:
- a) $$ a \cdot b + 4 = 5 $$ (número real)
- b) $$ 2a + 3(b \cdot c) = (-1, 4, -2) $$ (vector en $$ \mathbb{R}^{3} $$)
- c) $$ 2(a \cdot b)c - b = (0, -3, -1) $$ (vector en $$ \mathbb{R}^{3} $$)
- d) $$ 3(a + b) \cdot c = -9 $$ (número real)
a) 5 (número real) b) (-1, 4, -2) (vector en $$ \mathbb{R}^{3} $$) c) (0, -3, -1) (vector en $$ \mathbb{R}^{3} $$) d) -9 (número real)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Datos:

a)

b)

c)

d)

Resumen de resultados:

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