4. Sean \( a=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), b=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \). Recuerde que la definición de producto interno es \[ a \cdot b=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3} \in \mathbb{R} \text {. } \] Es decir, el producto interno de dos vectores de \( \mathbb{R}^{3} \) produce un número real. Con base en lo anterior, para \( a=(1,2,-1), b=(0,1,1), c=(0,-1,0) \) determine en las expresiones a seguir si se corresponde a un vector en \( \mathbb{R}^{3} \), a un numero real o si carece de sentido. En los casos posibles determine el resultado. \( \begin{array}{ll}\text { a) } a \cdot b+4 & \text { c) } 2(a \cdot b) c-b \\ \text { b) } 2 a+3(b \cdot c) & \text { d) } 3(a+b) \cdot c\end{array} \)

Vamos a calcular cada una de las expresiones y determinaremos si corresponden a un vector en \( \mathbb{R}^{3} \), a un número real o si carecen de sentido. a) \( a \cdot b + 4 \): Primero calculamos \( a \cdot b = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 0 + 2 - 1 = 1 \). Entonces, \( a \cdot b + 4 = 1 + 4 = 5 \), lo cual es un número real. b) \( 2a + 3(b \cdot c) \): Primero calculamos \( b \cdot c = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = 0 - 1 + 0 = -1 \). Así que \( 2a = 2(1, 2, -1) = (2, 4, -2) \) y \( 3(b \cdot c) = 3(-1) = -3 \). El problema está aquí porque \( -3 \) no se puede simplemente sumar a un vector. Entonces, corresponde a un vector que carece de sentido. c) \( 2(a \cdot b)c - b \): Ya calculamos \( a \cdot b = 1 \), luego \( 2(a \cdot b)c = 2 \cdot 1 \cdot (0, -1, 0) = (0, -2, 0) \). Así que \( 2(a \cdot b)c - b = (0, -2, 0) - (0, 1, 1) = (0 - 0, -2 - 1, 0 - 1) = (0, -3, -1) \), que es un vector en \( \mathbb{R}^{3} \). d) \( 3(a + b) \cdot c \): Primero calculamos \( a + b = (1, 2, -1) + (0, 1, 1) = (1, 3, 0) \). Luego, \( (1, 3, 0) \cdot c = 1 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = 0 - 3 + 0 = -3 \). Entonces, \( 3(a + b) \cdot c = 3(-3) = -9 \), que es un número real. Resumiendo: a) Resultado: número real (5) b) Resultado: carece de sentido c) Resultado: vector en \( \mathbb{R}^{3} \) \((0, -3, -1)\) d) Resultado: número real (-9)