In un triangolo rettangolo la differenza del. le lunghezze dei due cateti misura 84 cm e un cateto è i \( 15 / 8 \) dell'altro. Calcola il perimetro e l'area del triangolo. [ \( \mathbf{4 8 0} \mathbf{~ c m} ; \mathbf{8 6 4 0} \mathbf{c m}^{2} \)

Sia \( a \) e \( b \) i cateti, con \( a \) il cateto maggiore e \( b \) quello minore. Dalla consegna sappiamo che: 1. La differenza delle lunghezze dei due cateti è: \[ a - b = 84 \] 2. Un cateto è \( \frac{15}{8} \) dell'altro, dunque poniamo: \[ a = \frac{15}{8}b \] Sostituendo \( a \) nella prima equazione: \[ \frac{15}{8}b - b = 84 \] Calcoliamo il coefficiente: \[ \frac{15}{8}b - \frac{8}{8}b = \frac{7}{8}b = 84 \] Otteniamo \( b \): \[ b = 84 \cdot \frac{8}{7} = 96 \, \text{cm} \] Calcoliamo \( a \): \[ a = \frac{15}{8} \cdot 96 = 15 \cdot 12 = 180 \, \text{cm} \] Il triangolo è rettangolo quindi l’ipotenusa \( c \) si trova con il teorema di Pitagora: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{180^2 + 96^2} \] \[ 180^2 = 32400 \quad \text{e} \quad 96^2 = 9216 \] \[ c = \sqrt{32400 + 9216} = \sqrt{41616} \] Notiamo che: \[ 41616 = 144 \cdot 289 \] quindi: \[ c = \sqrt{144 \cdot 289} = 12 \cdot 17 = 204 \, \text{cm} \] Calcoliamo quindi il perimetro \( P \): \[ P = a + b + c = 180 + 96 + 204 = 480 \, \text{cm} \] L’area \( A \) del triangolo rettangolo è: \[ A = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 180 \cdot 96 = 8640 \, \text{cm}^2 \]