(a) $$ \frac{2 x^{3}-2 x}{2 x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-4 x}=-\frac{2}{2} $$

Question

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Para resolver la ecuación

$$
\frac{2 x^{3}-2 x}{2 x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-4 x}=-\frac{2}{2}
$$

primero simplificamos el lado derecho de la ecuación:

$$
-\frac{2}{2} = -1
$$

Ahora la ecuación se convierte en:

$$
\frac{2 x^{3}-2 x}{2 x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-4 x} = -1
$$

A continuación, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador $$2 x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-4 x$$ para eliminar la fracción (asumiendo que el denominador no es cero):

$$
2 x^{3}-2 x = -1(2 x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-4 x)
$$

Esto se simplifica a:

$$
2 x^{3}-2 x = -2 x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2}+4 x
$$

Ahora, movemos todos los términos al lado izquierdo de la ecuación:

$$
2 x^{3} + 2 x^{4} + 4 x^{3} - 2 x - 2 x^{2} - 4 x = 0
$$

Combinamos términos semejantes:

$$
2 x^{4} + (2 x^{3} + 4 x^{3}) - 2 x^{2} - (2 x + 4 x) = 0
$$

Esto se convierte en:

$$
2 x^{4} + 6 x^{3} - 2 x^{2} - 6 x = 0
$$

Ahora, factorizamos la ecuación:

$$
2 x (x^{3} + 3 x^{2} - x - 3) = 0
$$

Esto nos da dos factores:

1. $$2 x = 0$$ que implica $$x = 0$$.
2. $$x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 = 0$$.

Ahora, resolveremos el polinomio cúbico $$x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 = 0$$. Para esto, podemos intentar encontrar raíces racionales o usar métodos numéricos. Primero, probemos con el teorema del resto o la regla de signos de Descartes.

Probamos algunos valores:

- Para $$x = 1$$:

$$
1^{3} + 3(1^{2}) - 1 - 3 = 1 + 3 - 1 - 3 = 0
$$

Por lo tanto, $$x = 1$$ es una raíz. Ahora podemos factorizar $$x - 1$$ del polinomio cúbico. Usamos la división sintética:

$$
\begin{array}{r|rrrr}
1 & 1 & 3 & -1 & -3 \
  &   & 1 & 4 & 3 \
\hline
  & 1 & 4 & 3 & 0 \
\end{array}
$$

Esto nos da:

$$
x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 = (x - 1)(x^{2} + 4 x + 3)
$$

Ahora, resolvemos $$x^{2} + 4 x + 3 = 0$$ usando la fórmula cuadrática:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}
$$

Esto nos da dos soluciones:

1. $$x = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$
2. $$x = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación original son:

$$
x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1, \quad x = -3
$$
Las soluciones de la ecuación son $$ x = 0 $$, $$ x = 1 $$, $$ x = -1 $$, y $$ x = -3 $$.

(a) \( \frac{2 x^{3}-2 x}{2 x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-4 x}=-\frac{2}{2} \)

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