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Las soluciones de la ecuación son \( x = 0 \), \( x = 1 \), \( x = -1 \), y \( x = -3 \).
Solución
Para resolver la ecuación
\[
\frac{2 x^{3}-2 x}{2 x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-4 x}=-\frac{2}{2}
\]
primero simplificamos el lado derecho de la ecuación:
\[
-\frac{2}{2} = -1
\]
Ahora la ecuación se convierte en:
\[
\frac{2 x^{3}-2 x}{2 x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-4 x} = -1
\]
A continuación, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador \(2 x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-4 x\) para eliminar la fracción (asumiendo que el denominador no es cero):
\[
2 x^{3}-2 x = -1(2 x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-4 x)
\]
Esto se simplifica a:
\[
2 x^{3}-2 x = -2 x^{4}-4 x^{3}+2 x^{2}+4 x
\]
Ahora, movemos todos los términos al lado izquierdo de la ecuación:
\[
2 x^{3} + 2 x^{4} + 4 x^{3} - 2 x - 2 x^{2} - 4 x = 0
\]
Combinamos términos semejantes:
\[
2 x^{4} + (2 x^{3} + 4 x^{3}) - 2 x^{2} - (2 x + 4 x) = 0
\]
Esto se convierte en:
\[
2 x^{4} + 6 x^{3} - 2 x^{2} - 6 x = 0
\]
Ahora, factorizamos la ecuación:
\[
2 x (x^{3} + 3 x^{2} - x - 3) = 0
\]
Esto nos da dos factores:
1. \(2 x = 0\) que implica \(x = 0\).
2. \(x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 = 0\).
Ahora, resolveremos el polinomio cúbico \(x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 = 0\). Para esto, podemos intentar encontrar raíces racionales o usar métodos numéricos. Primero, probemos con el teorema del resto o la regla de signos de Descartes.
Probamos algunos valores:
- Para \(x = 1\):
\[
1^{3} + 3(1^{2}) - 1 - 3 = 1 + 3 - 1 - 3 = 0
\]
Por lo tanto, \(x = 1\) es una raíz. Ahora podemos factorizar \(x - 1\) del polinomio cúbico. Usamos la división sintética:
\[
\begin{array}{r|rrrr}
1 & 1 & 3 & -1 & -3 \\
& & 1 & 4 & 3 \\
\hline
& 1 & 4 & 3 & 0 \\
\end{array}
\]
Esto nos da:
\[
x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 = (x - 1)(x^{2} + 4 x + 3)
\]
Ahora, resolvemos \(x^{2} + 4 x + 3 = 0\) usando la fórmula cuadrática:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}
\]
Esto nos da dos soluciones:
1. \(x = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
2. \(x = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación original son:
\[
x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1, \quad x = -3
\]
Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional
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