Primer punto - Temática 1: Antiderivadas esarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría propiedades matemáticas para reducir las funciones a las integrales mediatas. Recuerde que no debe hacer uso de los métodos de Itegración (sustitución, integración por partes, etc.), y compruebe u respuesta derivando el resultado y graficando la solución a la integral. \[ \int \cos x+5 x^{3}+\frac{4 x}{x^{5 / 2}} d x \]

Procedamos paso a paso para encontrar la antiderivada de   ∫[cos x + 5x³ + (4x)/(x^(5/2))] dx recordando que debemos aplicar propiedades algebraicas y trigonométricas para simplificar la función antes de integrar, sin emplear técnicas como sustitución o integración por partes. ────────────────────────────── 1. Simplificación del integrando Observamos que el tercer término se puede simplificar usando propiedades de las potencias:   (4x)/(x^(5/2)) = 4 · x^(1) / x^(5/2) = 4 · x^(1 – 5/2) = 4 · x^( (2/2 – 5/2) ) = 4 · x^(–3/2). Entonces, la integral se reescribe como:   ∫[cos x + 5x³ + 4x^(–3/2)] dx ────────────────────────────── 2. Cálculo de la antiderivada de cada término a) Para el primer término:   ∫ cos x dx = sin x         (ya que d/dx (sin x) = cos x). b) Para el segundo término:   ∫ 5x³ dx. Aplicamos la regla de la potencia:   ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1), de modo que   ∫ 5x³ dx = 5 · (x^(3+1))/(3+1) = 5x⁴/4. c) Para el tercer término:   ∫ 4x^(–3/2) dx. Nuevamente aplicamos la regla de la potencia:   ∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1)   (n ≠ –1). Aquí n = –3/2, de modo que n + 1 = –3/2 + 1 = –1/2. Entonces,   ∫ 4x^(–3/2) dx = 4 · (x^(–1/2))/(–1/2) = 4 · (–2)x^(–1/2) = –8x^(–1/2). Recordando que x^(–1/2) = 1/√x, se tiene:   –8x^(–1/2) = –8/√x. ────────────────────────────── 3. Escribiendo la antiderivada completa Sumando los resultados (más la constante de integración C):   ∫[cos x + 5x³ + 4x^(–3/2)] dx = sin x + (5x⁴/4) – (8/√x) + C. ────────────────────────────── 4. Comprobación mediante la derivada Para verificar la solución, derivamos el resultado: • d/dx (sin x) = cos x. • d/dx (5x⁴/4) = (5/4) · 4x³ = 5x³. • d/dx (–8/√x) = d/dx (–8x^(–1/2)) = –8 · (–1/2)x^(–3/2) = 4x^(–3/2) = 4/ x^(3/2). Así, la derivada total es:   cos x + 5x³ + 4x^(–3/2), la cual es idéntica al integrando original. ────────────────────────────── 5. Graficación de la solución Para complementar la comprobación, se puede graficar: a) La función integrando f(x) = cos x + 5x³ + 4x^(–3/2). b) La derivada de la función antiderivada F(x) = sin x + (5x⁴/4) – (8/√x). Al graficar ambas funciones (utilizando, por ejemplo, algún software de gráficos o calculadora gráfica), se observará que coinciden, lo que confirma la validez de la antiderivada hallada. ────────────────────────────── Respuesta Final La antiderivada de la función es:   F(x) = sin x + (5x⁴/4) – (8/√x) + C. Esta función, al ser derivada, retorna el integrando original, lo que verifica la solución obtenida.