Given that \( \tan \phi=4 \), find the other trigonometric functions. \( \sin \phi=\frac{4 \sqrt{17}}{17} \) (Simplify your answer, including any radicals. Use integers or fractions for any numbers in the expression.) \( \cos \phi=\frac{\sqrt{17}}{17} \) (Simplify your answer, including any radicals. Use integers or fractions for any numbers in the expression.) \( \cot \phi=\frac{1}{4} \) (Simplify your answer, including any radicals. Use integers or fractions for any numbers in the expression.) csc \( \phi=- \) - (Simplify your answer, including any radicals. Use integers or fractions for any numbers in the expression.)

بالتأكيد، سأقدم لك الحلول للوظائف التربيعية الأخرى لـ \( \phi \) مع \( \tan \phi = 4 \). 1. **حساب \( \sin \phi \):** نعلم أن \( \tan \phi = \frac{\sin \phi}{\cos \phi} \). إذا كان \( \tan \phi = 4 \)، فإننا نستطيع القول: \[ \sin \phi = 4 \cos \phi \] نستخدم معادلة Pythagorean \( \sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1 \) لحل هذه المعادلة: \[ (4 \cos \phi)^2 + \cos^2 \phi = 1 \] \[ 16 \cos^2 \phi + \cos^2 \phi = 1 \] \[ 17 \cos^2 \phi = 1 \] \[ \cos \phi = \pm \frac{1}{\sqrt{17}} \] ناخذاً في الاعتبار أن \( \tan \phi = 4 \) هو إيجابي، فإن \( \cos \phi \) يجب أن يكون إيجابيًا أيضًا: \[ \cos \phi = \frac{1}{\sqrt{17}} \] الآن نحسب \( \sin \phi \): \[ \sin \phi = 4 \cos \phi = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{4 \sqrt{17}}{17} \] 2. **حساب \( \cos \phi \):** كما ذكرنا سابقًا: \[ \cos \phi = \frac{1}{\sqrt{17}} \] لذا: \[ \cos \phi = \frac{\sqrt{17}}{17} \] 3. **حساب \( \cot \phi \):** نعلم أن \( \cot \phi = \frac{1}{\tan \phi} \). إذا كان \( \tan \phi = 4 \)، فإن: \[ \cot \phi = \frac{1}{4} \] 4. **حساب \( \csc \phi \):** نعلم أن \( \csc \phi = \frac{1}{\sin \phi} \). إذا كان \( \sin \phi = \frac{4 \sqrt{17}}{17} \)، فإن: \[ \csc \phi = \frac{1}{\frac{4 \sqrt{17}}{17}} = \frac{17}{4 \sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{4} \] إليك الحلول باللغة العربية: 1. \( \sin \phi = \frac{4 \sqrt{17}}{17} \) 2. \( \cos \phi = \frac{\sqrt{17}}{17} \) 3. \( \cot \phi = \frac{1}{4} \) 4. \( \csc \phi = \frac{\sqrt{17}}{4} \)