14 Un satellite artificiale in orbita geostazionaria ruota intorno alla Terra restando sempre sopra lo stesso punto della superficie ter- restre. Sapendo che il raggio medio della Terra è \( R_{T}=6,37 \cdot 10^{6} \mathrm{~m} \) e che il satellite si trova a una quota di 36000 km sopra la superficie terrestre, trova: a. quanto tempo impiega il satellite a compiere uno spo- stamento angolare di \( 60,0^{\circ} \); b. la velocità e l'accelerazione centripeta del satellite.

Di seguito analizziamo il problema passo per passo. --- ## Dati del problema - Raggio medio della Terra: \[ R_{T}=6,37 \cdot 10^{6} \, \text{m} \] - Quota del satellite sopra la superficie terrestre: \[ h = 36000 \, \text{km} = 3,6 \cdot 10^{7} \, \text{m} \] - Il satellite è in orbita geostazionaria, per cui il periodo orbitale è: \[ T = 24 \, \text{ore} = 86400 \, \text{s} \] --- ## Calcolo del raggio orbitale Il raggio dell’orbita si ottiene sommando il raggio terrestre e l’altitudine del satellite: \[ r = R_{T} + h = 6,37 \cdot 10^{6} \, \text{m} + 3,6 \cdot 10^{7} \, \text{m} = 4,237 \cdot 10^{7} \, \text{m} \] --- ## Parte (a): Tempo per uno spostamento angolare di \(60,0^\circ\) 1. Convertiamo l’angolo in radianti: \[ 60,0^\circ = \frac{60,0 \pi}{180} = \frac{\pi}{3} \, \text{rad} \] 2. L’angolo totale compiuto in un’orbita completa è \(2\pi\) radianti, percorsi in \(86400 \, \text{s}\). Quindi l’angolo percorso in funzione del tempo è: \[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{86400} \, \text{s}^{-1} \] 3. Il tempo necessario per percorrere un angolo \(\theta = \frac{\pi}{3}\) è: \[ \Delta t = \frac{\theta}{\omega} = \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{2\pi}{86400}} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{86400}{2\pi} = \frac{86400}{6} = 14400 \, \text{s} \] Convertendo in ore: \[ 14400 \, \text{s} = \frac{14400}{3600} = 4 \, \text{ore} \] --- ## Parte (b): Velocità e accelerazione centripeta ### Velocità del satellite La velocità orbitale si calcola con: \[ v = \omega \, r \] dove: \[ \omega = \frac{2\pi}{86400} \, \text{s}^{-1} \approx 7,27 \cdot 10^{-5} \, \text{s}^{-1} \] Quindi: \[ v \approx 7,27 \cdot 10^{-5} \, \text{s}^{-1} \cdot 4,237 \cdot 10^{7} \, \text{m} \approx 3080 \, \text{m/s} \] ### Accelerazione centripeta L'accelerazione centripeta \(a_{c}\) è data dalla formula: \[ a_{c} = \omega^2 \, r \] Sostituendo i valori: \[ \omega^2 \approx \left(7,27 \cdot 10^{-5}\right)^2 \approx 5,29 \cdot 10^{-9} \, \text{s}^{-2} \] Pertanto: \[ a_{c} \approx 5,29 \cdot 10^{-9} \, \text{s}^{-2} \cdot 4,237 \cdot 10^{7} \, \text{m} \approx 0,224 \, \text{m/s}^2 \] --- ## Risposte finali a. Il tempo impiegato dal satellite per compiere uno spostamento angolare di \(60,0^\circ\) è: \[ \Delta t = 14400 \, \text{s} \quad (\text{ovvero 4 ore}) \] b. La velocità orbitale del satellite è: \[ v \approx 3080 \, \text{m/s} \] e l'accelerazione centripeta è: \[ a_{c} \approx 0,224 \, \text{m/s}^2 \]