Test I punti \( P(7 ;-3 ; 4) \) e \( P^{\prime}(-7 ; 3 ; 4) \) sono simmetricl rispetto: A all'nsse \( x \). \( \quad 0 \) all'asse \( z \). \( \begin{array}{ll}0 & \text { all'asse } y . \\ \text { D al plano } O x y \text {. }\end{array} \)

Consideriamo i punti \[ P(7, -3, 4) \quad \text{e} \quad P'(-7, 3, 4). \] Per determinare rispetto a quale elemento i due punti siano simmetrici, analizziamo la trasformazione che porta \(P\) in \(P'\). 1. **Trasformazione delle coordinate:** Confrontiamo le coordinate dei due punti: - La coordinata \(x\) passa da \(7\) a \(-7\), cioè \(x \rightarrow -x\). - La coordinata \(y\) passa da \(-3\) a \(3\), cioè \(y \rightarrow -y\). - La coordinata \(z\) rimane invariata, cioè \(z \rightarrow z\). Quindi la trasformazione è: \[ (x, y, z) \rightarrow (-x, -y, z). \] 2. **Interpretazione geometrica:** La trasformazione \((x, y, z) \rightarrow (-x, -y, z)\) corrisponde a una rotazione di \(180^\circ\) attorno all'asse \(z\) oppure, equivalentemente, alla simmetria rispetto all'asse \(z\). Infatti, per un punto \(P\) e la sua immagine \(P'\) per simmetria rispetto ad un asse, il segmento \(PP'\) ha come mediana un punto appartenente all'asse di simmetria e il segmento \(PP'\) è ortogonale a quest’asse. 3. **Verifica della simmetria rispetto all’asse \(z\):** - Calcoliamo il punto medio di \(P\) e \(P'\): \[ M = \left(\frac{7 + (-7)}{2}, \frac{-3 + 3}{2}, \frac{4 + 4}{2}\right) = (0,0,4). \] Il punto \(M\) appartiene all'asse \(z\) perché le sue prime due coordinate sono nulle. - Verifichiamo che il vettore \( \overrightarrow{PP'} \) sia ortogonale all'asse \(z\): \[ \overrightarrow{PP'} = P' - P = (-7-7, \; 3-(-3), \; 4-4) = (-14, \; 6, \; 0). \] Poiché la componente \(z\) del vettore è \(0\), il vettore \( \overrightarrow{PP'} \) è contenuto nel piano \(xy\) ed è quindi ortogonale all’asse \(z\). Questi risultati confermano che i punti \(P\) e \(P'\) sono simmetrici rispetto all’asse \(z\).