Sea la parábola $$ 9 x^{2}+3 y-8 x+4=0 $$. Calcule las coordenadas del vértice, el toco, la ewacion de la directioz y la longituddel lado recto.

Question

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1. Empezamos con la ecuación de la parábola
$$
9x^2+3y-8x+4=0.
$$

2. Reorganizamos los términos para aislar $$y$$:
$$
9x^2 - 8x + 3y + 4 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 3y = -9x^2+8x-4,
$$
$$
y = -3x^2+\frac{8}{3}x-\frac{4}{3}.
$$

3. Se escribe la parte cuadrática en forma de trinomio completado. Factorizando el coeficiente del término cuadrático:
$$
y = -3\left(x^2-\frac{8}{9}x\right)-\frac{4}{3}.
$$
Para completar el cuadrado en $$x^2-\frac{8}{9}x$$, calculamos:
$$
\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{9}\right)^2=\left(\frac{4}{9}\right)^2=\frac{16}{81}.
$$
Entonces:
$$
x^2-\frac{8}{9}x = \left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\frac{16}{81}.
$$

4. Sustituimos en la ecuación:
$$
y=-3\left[\left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\frac{16}{81}\right]-\frac{4}{3},
$$
$$
y=-3\left(x-\frac{4}{9}\right)^2+\frac{48}{81}-\frac{4}{3}.
$$
Observamos que
$$
\frac{48}{81}=\frac{16}{27} \quad \text{y} \quad \frac{4}{3}=\frac{36}{27}.
$$
Por lo que la constante queda:
$$
\frac{16}{27}-\frac{36}{27}=-\frac{20}{27}.
$$
La ecuación en forma canónica es:
$$
y=-3\left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\frac{20}{27}.
$$

5. En la forma $$y=a(x-h)^2+k$$ se tiene:
$$
a=-3,\quad h=\frac{4}{9},\quad k=-\frac{20}{27}.
$$
Por lo tanto, el vértice es
$$
\left(\frac{4}{9}, -\frac{20}{27}\right).
$$

6. Para determinar el foco y la directriz, se reescribe la ecuación en la forma estándar de parábola vertical. Partimos de:
$$
y-\left(-\frac{20}{27}\right)=-3\left(x-\frac{4}{9}\right)^2,
$$
$$
y+\frac{20}{27}=-3\left(x-\frac{4}{9}\right)^2.
$$
Recordando que una parábola vertical se puede expresar como
$$
\left(x-h\right)^2=4p\,(y-k),
$$
necesitamos igualar:
$$
\left(x-\frac{4}{9}\right)^2 = -\frac{1}{3}\left(y+\frac{20}{27}\right).
$$
De este modo se obtiene
$$
4p = -\frac{1}{3} \quad \Longrightarrow \quad p=-\frac{1}{12}.
$$

7. Conociendo $$p$$, el foco se determina como:
$$
\text{Foco: } (h,\, k+p)=\left(\frac{4}{9},\, -\frac{20}{27}-\frac{1}{12}\right).
$$
Para calcular la componente $$y$$, buscamos un común denominador:
$$
-\frac{20}{27}=-\frac{80}{108},\quad \frac{1}{12}=\frac{9}{108},
$$
$$
k+p=-\frac{80}{108}-\frac{9}{108}=-\frac{89}{108}.
$$
Por lo tanto, el foco es:
$$
\left(\frac{4}{9}, -\frac{89}{108}\right).
$$

8. La directriz se obtiene de:
$$
y=k-p=-\frac{20}{27}-\left(-\frac{1}{12}\right)=-\frac{20}{27}+\frac{1}{12}.
$$
Nuevamente, expresamos en un denominador común:
$$
-\frac{20}{27} = -\frac{80}{108},\quad \frac{1}{12}=\frac{9}{108},
$$
$$
k-p=-\frac{80}{108}+\frac{9}{108}=-\frac{71}{108}.
$$
La ecuación de la directriz es:
$$
y=-\frac{71}{108}.
$$

9. La longitud del lado recto (o foco-directriz) se calcula mediante
$$
\text{Lado recto} = \left|4p\right| = \left|4\left(-\frac{1}{12}\right)\right| = \frac{1}{3}.
$$

Resumen de resultados:

- Vértice: $$\left(\frac{4}{9}, -\frac{20}{27}\right)$$.
- Foco: $$\left(\frac{4}{9}, -\frac{89}{108}\right)$$.
- Directriz: $$y=-\frac{71}{108}$$.
- Longitud del lado recto: $$\frac{1}{3}$$.
Vértice: $$\left(\frac{4}{9}, -\frac{20}{27}\right)$$, Foco: $$\left(\frac{4}{9}, -\frac{89}{108}\right)$$, Directriz: $$y=-\frac{71}{108}$$, Longitud del lado recto: $$\frac{1}{3}$$.

Sea la parábola \( 9 x^{2}+3 y-8 x+4=0 \). Calcule las coordenadas del vértice, el toco, la ewacion de la directioz y la longituddel lado recto.

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