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Vértice: \(\left(\frac{4}{9}, -\frac{20}{27}\right)\), Foco: \(\left(\frac{4}{9}, -\frac{89}{108}\right)\), Directriz: \(y=-\frac{71}{108}\), Longitud del lado recto: \(\frac{1}{3}\).
Solución
1. Empezamos con la ecuación de la parábola
\[
9x^2+3y-8x+4=0.
\]
2. Reorganizamos los términos para aislar \(y\):
\[
9x^2 - 8x + 3y + 4 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 3y = -9x^2+8x-4,
\]
\[
y = -3x^2+\frac{8}{3}x-\frac{4}{3}.
\]
3. Se escribe la parte cuadrática en forma de trinomio completado. Factorizando el coeficiente del término cuadrático:
\[
y = -3\left(x^2-\frac{8}{9}x\right)-\frac{4}{3}.
\]
Para completar el cuadrado en \(x^2-\frac{8}{9}x\), calculamos:
\[
\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{9}\right)^2=\left(\frac{4}{9}\right)^2=\frac{16}{81}.
\]
Entonces:
\[
x^2-\frac{8}{9}x = \left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\frac{16}{81}.
\]
4. Sustituimos en la ecuación:
\[
y=-3\left[\left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\frac{16}{81}\right]-\frac{4}{3},
\]
\[
y=-3\left(x-\frac{4}{9}\right)^2+\frac{48}{81}-\frac{4}{3}.
\]
Observamos que
\[
\frac{48}{81}=\frac{16}{27} \quad \text{y} \quad \frac{4}{3}=\frac{36}{27}.
\]
Por lo que la constante queda:
\[
\frac{16}{27}-\frac{36}{27}=-\frac{20}{27}.
\]
La ecuación en forma canónica es:
\[
y=-3\left(x-\frac{4}{9}\right)^2-\frac{20}{27}.
\]
5. En la forma \(y=a(x-h)^2+k\) se tiene:
\[
a=-3,\quad h=\frac{4}{9},\quad k=-\frac{20}{27}.
\]
Por lo tanto, el vértice es
\[
\left(\frac{4}{9}, -\frac{20}{27}\right).
\]
6. Para determinar el foco y la directriz, se reescribe la ecuación en la forma estándar de parábola vertical. Partimos de:
\[
y-\left(-\frac{20}{27}\right)=-3\left(x-\frac{4}{9}\right)^2,
\]
\[
y+\frac{20}{27}=-3\left(x-\frac{4}{9}\right)^2.
\]
Recordando que una parábola vertical se puede expresar como
\[
\left(x-h\right)^2=4p\,(y-k),
\]
necesitamos igualar:
\[
\left(x-\frac{4}{9}\right)^2 = -\frac{1}{3}\left(y+\frac{20}{27}\right).
\]
De este modo se obtiene
\[
4p = -\frac{1}{3} \quad \Longrightarrow \quad p=-\frac{1}{12}.
\]
7. Conociendo \(p\), el foco se determina como:
\[
\text{Foco: } (h,\, k+p)=\left(\frac{4}{9},\, -\frac{20}{27}-\frac{1}{12}\right).
\]
Para calcular la componente \(y\), buscamos un común denominador:
\[
-\frac{20}{27}=-\frac{80}{108},\quad \frac{1}{12}=\frac{9}{108},
\]
\[
k+p=-\frac{80}{108}-\frac{9}{108}=-\frac{89}{108}.
\]
Por lo tanto, el foco es:
\[
\left(\frac{4}{9}, -\frac{89}{108}\right).
\]
8. La directriz se obtiene de:
\[
y=k-p=-\frac{20}{27}-\left(-\frac{1}{12}\right)=-\frac{20}{27}+\frac{1}{12}.
\]
Nuevamente, expresamos en un denominador común:
\[
-\frac{20}{27} = -\frac{80}{108},\quad \frac{1}{12}=\frac{9}{108},
\]
\[
k-p=-\frac{80}{108}+\frac{9}{108}=-\frac{71}{108}.
\]
La ecuación de la directriz es:
\[
y=-\frac{71}{108}.
\]
9. La longitud del lado recto (o foco-directriz) se calcula mediante
\[
\text{Lado recto} = \left|4p\right| = \left|4\left(-\frac{1}{12}\right)\right| = \frac{1}{3}.
\]
Resumen de resultados:
- Vértice: \(\left(\frac{4}{9}, -\frac{20}{27}\right)\).
- Foco: \(\left(\frac{4}{9}, -\frac{89}{108}\right)\).
- Directriz: \(y=-\frac{71}{108}\).
- Longitud del lado recto: \(\frac{1}{3}\).
Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional
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