3. Para cada uno de los siguientes inctıos, trace la gráfica y determine la ecuación de la circunferencia sujeta a las siguientes condiciones. a) Los extremos de uno de sus diámetros son \( A(3,5) \) y \( B(-3,-5) \) b) Su radio es igual a \( \sqrt{11} \) y su centro está en la intersección de las rectas: \( 3 x-5 y=0 \quad y \quad 4 x-7 y=2 \) c) Su centro está en el punto \( (1,12) \) y una recta tangente tiene por ecuación: \( 9 x-2 y=0 \) d) Se centro está en el origen y una recta tangente tiene por ecuación: \( y=-4 \)

a) Dados los extremos de un diámetro \( A(3,5) \) y \( B(-3,-5) \), se calcula el centro \( C \) (el punto medio) y el radio. - Centro: \[ C = \left( \frac{3 + (-3)}{2}, \frac{5 + (-5)}{2} \right) = (0,0) \] - Radio: La distancia \( AB \) es \[ AB = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (5 - (-5))^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36+100} = \sqrt{136} \] Por ser \( AB \) un diámetro, el radio \( r \) es \[ r = \frac{\sqrt{136}}{2} = \sqrt{34} \] La ecuación de la circunferencia es: \[ x^2+y^2=34 \] --- b) Se tiene el radio \( r=\sqrt{11} \) y el centro \( (h,k) \) se encuentra en la intersección de las rectas \[ 3x-5y=0 \quad \text{y} \quad 4x-7y=2. \] - Para encontrar el centro, expresemos \( x \) de la primera ecuación: \[ 3x = 5y \quad \Rightarrow \quad x=\frac{5}{3}y. \] Sustituyendo en la segunda ecuación: \[ 4\left(\frac{5}{3}y\right) - 7y=2 \quad \Rightarrow \quad \frac{20}{3}y-7y = 2. \] Escribiendo con denominador común: \[ \frac{20y-21y}{3} = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{-y}{3}=2 \quad \Rightarrow \quad y=-6. \] Entonces, \[ x=\frac{5}{3}(-6)=-10. \] El centro es \( (-10,-6) \) y la ecuación es: \[ (x+10)^2+(y+6)^2=11. \] --- c) El centro está en \( (1,12) \) y una recta tangente es \( 9x-2y=0 \). Para una tangente, la distancia del centro a la recta es igual al radio. La distancia \( d \) desde el punto \( (1,12) \) a la recta \( 9x-2y=0 \) se calcula como: \[ d = \frac{\left|9(1)-2(12)+0\right|}{\sqrt{9^2+(-2)^2}} = \frac{|9-24|}{\sqrt{81+4}} = \frac{15}{\sqrt{85}}. \] Entonces, el radio \( r \) es: \[ r = \frac{15}{\sqrt{85}} = \sqrt{\frac{225}{85}} = \sqrt{\frac{45}{17}}. \] La ecuación de la circunferencia es: \[ (x-1)^2+(y-12)^2=\frac{45}{17}. \] --- d) El centro de la circunferencia está en el origen \( (0,0) \) y una recta tangente es \( y=-4 \). La distancia desde el centro al tangente es: \[ r = \left|0 - (-4)\right| = 4. \] Por lo tanto, la ecuación es: \[ x^2+y^2=16. \]