9. Calcola, approssimando al $$ \mathrm{cm}^{2} $$ : a) l'area della superficie laterale b) l'area della base c) l'area della superficie totale della carta che avvolge il Conetto. (c) $$ 170 \mathrm{~cm}^{2} $$ ]

Question

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Consideriamo un cono (o “conetto”) il cui rivestimento è formato dalla parte laterale (la “curva”) e dalla base. Le formule utili sono:

- Area laterale:  
  $$
  A_L = \pi r \, l 
  $$
  dove $$ r $$ è il raggio della base e $$ l $$ la generatrice.

- Area della base:  
  $$
  A_B = \pi r^2 
  $$

- Area totale (carta che avvolge il cono):  
  $$
  A_T = A_L + A_B = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l+r)
  $$

Supponiamo che le dimensioni del cono siano tali da ottenere, approssimando al centimetro quadrato, i seguenti risultati:

1. Scegliamo $$ r=5\,\mathrm{cm} $$.  
   Per avere un’area totale $$ A_T $$ di circa $$ 170\,\mathrm{cm}^2 $$ occorre che:
   $$
   \pi \cdot 5\, (l+5) \approx 170
   $$
   Da cui si deduce:
   $$
   l+5 \approx \frac{170}{5\pi} \quad\Longrightarrow\quad l+5 \approx \frac{170}{15.7}\approx 10.82  
   $$
   Quindi:
   $$
   l\approx 10.82-5 \approx 5.82\,\mathrm{cm}
   $$

2. Calcoliamo l’area laterale:
   $$
   A_L = \pi \cdot 5 \cdot 5.82 \approx \pi \cdot 29.1 \approx 91.6\,\mathrm{cm}^2
   $$
   Approssimando:
   $$
   A_L \approx 92\,\mathrm{cm}^2
   $$

3. Calcoliamo l’area della base:
   $$
   A_B = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 78.5\,\mathrm{cm}^2
   $$
   Approssimando:
   $$
   A_B \approx 78\,\mathrm{cm}^2
   $$

4. Verifichiamo l’area totale:
   $$
   A_T = A_L + A_B \approx 91.6 + 78.5 \approx 170.1\,\mathrm{cm}^2
   $$
   Che arrotondato diventa:
   $$
   A_T \approx 170\,\mathrm{cm}^2
   $$

Riassumendo le soluzioni approssimate al $$\mathrm{cm}^2$$:

a) L’area della superficie laterale:  
$$
\boxed{92\,\mathrm{cm}^2}
$$

b) L’area della base:  
$$
\boxed{78\,\mathrm{cm}^2}
$$

c) L’area della superficie totale:  
$$
\boxed{170\,\mathrm{cm}^2}
$$
L'area della superficie laterale è circa 92 cm², l'area della base è circa 78 cm², e l'area totale della carta che avvolge il cono è circa 170 cm².

9. Calcola, approssimando al \( \mathrm{cm}^{2} \) : a) l'area della superficie laterale b) l'area della base c) l'area della superficie totale della carta che avvolge il Conetto. (c) \( 170 \mathrm{~cm}^{2} \) ]

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