El área del recinto limitado por \( f(x)=2 x^{3}-6 x^{2} \), el eje \( x \) y las rectas \( x=2 y x=4 \) vale

Para encontrar el área del recinto limitado por la función \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 \), el eje \( x \), y las líneas verticales \( x = 2 \) y \( x = 4 \), primero debes evaluar la función en estos puntos. Calculamos \( f(2) \) y \( f(4) \): - \( f(2) = 2(2^3) - 6(2^2) = 2(8) - 6(4) = 16 - 24 = -8 \) - \( f(4) = 2(4^3) - 6(4^2) = 2(64) - 6(16) = 128 - 96 = 32 \) Luego, la integral que representa el área entre estas dos líneas es: \[ \text{Área} = \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} (2x^3 - 6x^2) \, dx \] Calculando la integral: \[ = \left[ \frac{2}{4}x^4 - 2x^3 \right]_{2}^{4} = \left[ \frac{1}{2}(4^4) - 2(4^3) \right] - \left[ \frac{1}{2}(2^4) - 2(2^3) \right] \] \[ = \left[ \frac{1}{2}(256) - 2(64) \right] - \left[ \frac{1}{2}(16) - 2(8) \right] \] \[ = \left[ 128 - 128 \right] - \left[ 8 - 16 \right] \] \[ = 0 - (-8) = 8 \] Por ende, el área del recinto limitado vale 8 unidades cuadradas.