2. Use derivación y verifique: a. \( \int\left(2 x^{2}-4 x\right)^{9}(x-1) d x=\frac{1}{40}\left(2 x^{2}-4 x\right)^{10}+C \) b. \( \int \ln x d x=x \ln x-x+C \) c. \( \int \frac{x^{2}-1}{x^{3 / 2}} d x=\frac{2\left(x^{2}+3\right)}{3 \sqrt{x}}+C \)

A continuación se muestra la verificación de cada uno de los resultados propuestos, diferenciando las expresiones obtenidas para corroborar que al derivarlas se recupera la función integrando original. ────────────────────────────── a) Se propone que   ∫(2x² – 4x)⁹·(x – 1) dx = (1/40)(2x² – 4x)¹⁰ + C. Verifiquemos derivando la función antiderivada, F(x) = (1/40)(2x² – 4x)¹⁰. Utilizando la regla de la cadena:   F′(x) = (1/40)·10·(2x² – 4x)⁹ · d/dx(2x² – 4x). Pero   d/dx(2x² – 4x) = 4x – 4 = 4(x – 1). Luego:   F′(x) = (10/40)(2x² – 4x)⁹·4(x – 1)       = (40/40)(2x² – 4x)⁹·(x – 1)       = (2x² – 4x)⁹·(x – 1). Como este es exactamente el integrando, el resultado es correcto. ────────────────────────────── b) Se propone que   ∫ ln x dx = x ln x – x + C. Verifiquemos derivando F(x) = x ln x – x. Utilizando la regla del producto en el término x ln x:   F′(x) = d/dx(x ln x) – d/dx(x)       = (1·ln x + x·(1/x)) – 1       = (ln x + 1) – 1       = ln x. Obteniendo así el integrando original, lo que confirma la validez del resultado. ────────────────────────────── c) Se propone que   ∫ (x² – 1)/x^(3/2) dx = [2(x² + 3)]/(3√x) + C. Es conveniente reescribir la expresión propuesta:   F(x) = [2(x² + 3)]/(3√x) = (2/3)(x² + 3)x^(–1/2). Observamos que también se puede escribir:   F(x) = (2/3)[x^(3/2) + 3x^(–1/2)]. Derivemos F(x) derivando término a término. • Derivada de x^(3/2):   d/dx [x^(3/2)] = (3/2)x^(1/2). • Derivada de 3x^(–1/2):   d/dx [3x^(–1/2)] = 3·(–1/2)x^(–3/2) = –(3/2)x^(–3/2). Por lo tanto:   F′(x) = (2/3)[(3/2)x^(1/2) – (3/2)x^(–3/2)]        = (2/3)·(3/2)[x^(1/2) – x^(–3/2)]        = [x^(1/2) – x^(–3/2)]. Ahora, recordemos que el integrando original es:   (x² – 1)/x^(3/2) = x²/x^(3/2) – 1/x^(3/2) = x^(1/2) – x^(–3/2). Concluimos que F′(x) es igual al integrando, confirmando así la corrección del resultado. ────────────────────────────── Conclusión Cada uno de los resultados propuestos se verifica correctamente al derivar la antiderivada obtenida:  a) d/dx[(1/40)(2x² – 4x)¹⁰] = (2x² – 4x)⁹(x – 1),  b) d/dx[x ln x – x] = ln x,  c) d/dx{[2(x² + 3)]/(3√x)} = (x² – 1)/x^(3/2). Por lo tanto, las soluciones son correctas.