Encontrar la primera derlvada de \( F(q)=\operatorname{Im}\left[(q+1)^{2}(q+2)^{3}\right] \)

Queremos encontrar la derivada primera de   F(q) = Im[(q + 1)² · (q + 2)³]. Para ello, procedemos de la siguiente manera. 1. Definimos la función compleja   f(q) = (q + 1)² · (q + 2)³, de modo que F(q) es simplemente la parte imaginaria de f(q), es decir,   F(q) = Im[f(q)]. 2. Como f(q) es un polinomio (por tanto, función holomorfa), podemos derivar f(q) sin inconvenientes. Primero expresamos f(q) como producto de dos funciones:   U(q) = (q + 1)²  y  V(q) = (q + 2)³. Entonces, empleando la regla del producto se tiene:   f '(q) = U '(q)·V(q) + U(q)·V '(q). 3. Calculamos cada derivada:  a) U '(q) = 2(q + 1).  b) V '(q) = 3(q + 2)². Por lo tanto,   f '(q) = 2(q + 1)(q + 2)³ + 3(q + 1)²·(q + 2)². 4. Factorizamos términos comunes. Notamos que ambos sumandos tienen (q + 1) y (q + 2)²:   f '(q) = (q + 2)² (q + 1) [2(q + 2) + 3(q + 1)]. 5. Simplificamos el contenido del corchete:   2(q + 2) + 3(q + 1) = 2q + 4 + 3q + 3 = 5q + 7. Por lo tanto,   f '(q) = (q + 1)·(q + 2)²·(5q + 7). 6. Al derivar F(q) = Im[f(q)] con respecto a q, y aprovechando que la operación de tomar la parte imaginaria es lineal, se tiene:   F '(q) = Im[f '(q)] = Im[(q + 1)(q + 2)²(5q + 7)]. Este es el resultado final. Por tanto, la primera derivada de F(q) es   F '(q) = Im[(q + 1)(q + 2)²(5q + 7)].