15. Un inversionista deposita \( \$ 500 \) al inicio de cada mes en una cuenta que paga el \( 5 \% \) anual capitalizable mensualmente durante 6 años. ¿Cuál será el monto final acumulado?

1. Se tiene una inversión con depósitos de \( \$500 \) realizados al inicio de cada mes durante 6 años. Dado que los depósitos se realizan al inicio de cada período, se trata de una anualidad anticipada. 2. La tasa de interés es del \( 5\% \) anual capitalizable mensualmente, por lo que la tasa de interés mensual es \[ i = \frac{0.05}{12} \, . \] 3. El número total de períodos es \[ n = 6 \text{ años} \times 12 \text{ meses/año} = 72 \, . \] 4. La fórmula para el monto acumulado \( FV \) de una anualidad anticipada es \[ FV = R \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i} \cdot (1+i) \, , \] donde \( R = \$500 \). 5. Sustituyendo los valores se tiene \[ FV = 500 \cdot \frac{\left(1+\frac{0.05}{12}\right)^{72} - 1}{\frac{0.05}{12}} \cdot \left(1+\frac{0.05}{12}\right) \, . \] 6. Calculando paso a paso: - La tasa mensual es \[ 1+i = 1+\frac{0.05}{12} \approx 1.00416667 \, . \] - Elevando a la \(72^{\text{ésima}}\) potencia \[ (1+i)^{72} \approx 1.34899 \, . \] - Entonces, \[ (1+i)^{72} - 1 \approx 0.34899 \, . \] - Dividiendo entre \( i \) \[ \frac{0.34899}{0.05/12} = \frac{0.34899}{0.00416667} \approx 83.76 \, . \] - Multiplicando por \( (1+i) \) \[ 83.76 \times 1.00416667 \approx 84.11 \, . \] - Finalmente, el monto acumulado es \[ FV \approx 500 \times 84.11 \approx 42055 \, . \] 7. El monto final acumulado después de 6 años es, aproximadamente, \[ \$42,\!055 \, . \]