$$ \sin ( x + \frac { \pi } { 4 } ) \leq \frac { 1 } { 2 } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Чтобы решить неравенство $$ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leq \frac{1}{2} $$, начнем с нахождения значений $$ x + \frac{\pi}{4} $$, для которых синус меньше или равен $$ \frac{1}{2} $$.

Синус принимает значение $$ \frac{1}{2} $$ при углах:
$$
\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

Таким образом, неравенство $$ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leq \frac{1}{2} $$ будет выполняться в интервалах, где $$ x + \frac{\pi}{4} $$ находится между этими значениями.

1. Найдем границы:
   $$
   x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{1}{2} \implies x \leq \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4}
   $$
   $$
   x + \frac{\pi}{4} \geq \frac{5\pi}{6} \implies x \geq \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} - \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{12} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}
   $$

2. Теперь учтем периодичность синуса. Поскольку синус периодичен с периодом $$ 2\pi $$, мы можем записать:
   $$
   x + \frac{\pi}{4} \in \left[ \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \right] \quad \text{и} \quad x + \frac{\pi}{4} \in \left[ \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \right]
   $$

3. Перепишем это в терминах $$ x $$:
   $$
   x \in \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \right]
   $$
   $$
   x \in \left[ \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{12} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} - \frac{3\pi}{12} + 2k\pi \right]
   $$
   $$
   x \in \left[ \frac{2\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2k\pi, \frac{10\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2k\pi \right]
   $$
   $$
   x \in \left[ -\frac{\pi}{12} + 2k\pi, \frac{7\pi}{12} + 2k\pi \right]
   $$

Аналогично для второго интервала:
   $$
   x \in \left[ \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \right]
   $$
   $$
   x \in \left[ \frac{14\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2k\pi, \frac{22\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} + 2k\pi \right]
   $$
   $$
   x \in \left[ \frac{11\pi}{12} + 2k\pi, \frac{19\pi}{12} + 2k\pi \right]
   $$

Таким образом, окончательный ответ:
$$
x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[ -\frac{\pi}{12} + 2k\pi, \frac{7\pi}{12} + 2k\pi \right] \cup \left[ \frac{11\pi}{12} + 2k\pi, \frac{19\pi}{12} + 2k\pi \right]
$$
Решение неравенства $$ \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \leq \frac{1}{2} $$ можно выразить как: $$ x \in \left[ -\frac{\pi}{12} + 2k\pi, \frac{7\pi}{12} + 2k\pi \right] \cup \left[ \frac{11\pi}{12} + 2k\pi, \frac{19\pi}{12} + 2k\pi \right], \quad k \in \mathbb{Z} $$

\( \sin ( x + \frac { \pi } { 4 } ) \leq \frac { 1 } { 2 } \)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Trigonometry Questions