Realizar la siguiente suma de fracciones \[ 2 y \] \( 3 y^{2}+11 y+6+\frac{y+1}{y^{2}-9}+\frac{1}{3 y+2} \)

Consideremos la suma de las siguientes fracciones: \[ \frac{2y}{3y^{2}+11y+6}+\frac{y+1}{y^2-9}+\frac{1}{3y+2}. \] Notamos que: 1. El primer denominador se factoriza como \[ 3y^{2}+11y+6=(3y+2)(y+3). \] 2. El segundo denominador es una diferencia de cuadrados: \[ y^{2}-9=(y-3)(y+3). \] 3. El tercer denominador ya es lineal: \(3y+2\). Por ello, la expresión se escribe como \[ \frac{2y}{(3y+2)(y+3)}+\frac{y+1}{(y-3)(y+3)}+\frac{1}{3y+2}. \] Para sumar las fracciones encontraremos un común denominador. El mínimo común denominador (mcd) es \[ (3y+2)(y+3)(y-3). \] Ajustamos cada término: 1. En la primera fracción, multiplicamos numerador y denominador por \((y-3)\): \[ \frac{2y}{(3y+2)(y+3)}=\frac{2y(y-3)}{(3y+2)(y+3)(y-3)}. \] 2. En la segunda, multiplicamos por \((3y+2)\): \[ \frac{y+1}{(y-3)(y+3)}=\frac{(y+1)(3y+2)}{(3y+2)(y-3)(y+3)}. \] 3. En la tercera, multiplicamos por \((y+3)(y-3)\): \[ \frac{1}{3y+2}=\frac{(y+3)(y-3)}{(3y+2)(y+3)(y-3)}. \] Con estos ajustes, la suma se convierte en \[ \frac{2y(y-3)+(y+1)(3y+2)+(y+3)(y-3)}{(3y+2)(y+3)(y-3)}. \] Calculemos el numerador paso a paso: 1. Expandir el primer término: \[ 2y(y-3)=2y^2-6y. \] 2. Expandir el segundo término: \[ (y+1)(3y+2)=3y^2+2y+3y+2=3y^2+5y+2. \] 3. Expandir el tercer término (producto notable): \[ (y+3)(y-3)=y^2-9. \] Sumando todos los términos: \[ 2y^2-6y+3y^2+5y+2+y^2-9 = (2y^2+3y^2+y^2)+(-6y+5y)+(2-9). \] Procedemos a ordenar: \[ 2y^2+3y^2+y^2=6y^2,\quad -6y+5y=-y,\quad 2-9=-7. \] De modo que el numerador es \[ 6y^2-y-7. \] Verifiquemos si se puede factorizar \(6y^2-y-7\). Buscamos dos números que al multiplicarlos den \(6 \cdot (-7)=-42\) y que sumados den \(-1\). Se tiene que \(-7\) y \(6\) cumplen esta propiedad, ya que \[ -7+6=-1\quad \text{y}\quad -7\cdot6=-42. \] Para factorizar, buscamos escribir: \[ 6y^2-y-7=6y^2+6y-7y-7. \] Agrupando: \[ (6y^2+6y)-(7y+7)=6y(y+1)-7(y+1)=(6y-7)(y+1). \] Por lo tanto, la suma de las fracciones es \[ \frac{(6y-7)(y+1)}{(3y+2)(y+3)(y-3)}. \]